Тема 12. Метод розділення змінних (метод Фур’є) для рівнянь гіперболічного типу

Задача 1. Розв’язати наступну крайову задачу:

,

, .

Розв’язання. Як відомо , розв’язок крайової задачі

,

, ,

згідно методу розділення змінних подається у вигляді ряду

,

де

, .

В нашому випадку , а тому , n = 1,2,…. Отже,

.

Для визначення маємо

,

. (1)

Рівність (1) можлива лише у випадку

Отже,

Задача 2. Розв’язати крайову задачу

(2)

(3)

. (4)

Розв’язання. Розв’язок шукаємо у вигляді:

. (5)

Підставляючи (5) в рівняння (2) та граничні умови (3), розділяючи змінні, отримуємо рівняння для функції

(6)

та задачу Штурма–Ліувіля для функції

, (7)

. (8)

Можливі наступні випадки:

1. , де ‑ довільні константи.

З граничних умов (8) отримуємо Отже, не є власним значенням, оскільки .

2. .

З граничних умов (8) отримуємо

Отже, немає власних значень , оскільки .

3. .

З граничних умов (8) отримуємо

Отже, власним значенням

відповідають власні функції

, (9)

Розв’язуючи рівняння (6) при знайдених та враховуючи (5), (9), дістанемо

де довільні константи.

З початкових умов (4) маємо:

Отже,

Задача 3. Розв’язати наступну крайову задачу:

(10)

Розв’язання. Якщо при задано неоднорідні граничні умови першого роду

то вводячи заміну

,

ми отримаємо однорідні граничні умови для нової невідомої функції

В нашому випадку

. (11)

Тоді, знайшовши похідні та підставивши їх у рівняння (10), дістанемо наступну першу мішану крайову задачу для нової невідомої функції :

Як відомо, розв’язок крайової задачі

, ,

подається у вигляді ряду

де

, .

Знайшовши , ми знайдемо , а з (11) ‑ невідому функцію .

Індивідуальні домашні завдання до теми 12 розділ іі. Варіаційне числення § 36. Функціонали. Задачі варіаційного числення

Крім задач, в яких необхідно визначити максимальне або мінімальне значення деякої функції , в задачах фізики нерідко виникає необхідність знайти максимум або мінімум значення величин особливого роду, які називаються функціоналами. Функціоналами називаються змінні величини, значення яких визначаються вибором однієї або декількох функцій. Наприклад, функціоналом є довжина дуги плоскої (або просторової) кривої, що з’єднує 2 задані точки і (див мал.). Величина може бути обчислена, якщо задане рівняння кривої :

Площа деякої поверхні теж є функціоналом, оскільки вона визначається вибором поверхні, тобто вибором функції , що входить у рівняння поверхні . Як відомо,

,

де - проекція поверхні на площину .

Моменти інерції, координати центра тяжіння деякої однорідної кривої або поверхні також є функціоналом, оскільки їх значення визначаються вибором кривої або поверхні, тобто вибором функції, що входить у рівняння цієї кривої або поверхні.

В аріаційне числення вивчає методи, які дозволяють заходити максимальне і мінімальне значення функціоналів. Задачі, в яких вимагається дослідити функціонал на максимум або мінімум, називаються варіаційними задачами.

Багато законів механіки і фізики зводяться до твердження, що деякий функціонал в досліджуваному процесі повинен досягати мінімуму або максимуму. В такому формулюванні ці закони носять назву варіаційних принципів механіки або фізики. До числа таких варіаційних принципів або найпростіших наслідків з них можна віднести: принцип найменшої дії, закон збереження енергії, закон збереження імпульсу, принцип Ферма в оптиці і інші.

Варіаційне числення почало розвиватись з 1696 року, коли Іоганн Бернулі запропонував задачу про лінію найшвидшого спуску – брахістрону, суть якої у визначені лінії, яка з’єднує дві задані точки і так, щоб матеріальна точка скотилася по ній за найменший час. Пізніше варіаційне числення сформулювалось в самостійну математичну дисципліну з власними методами дослідження.