Індивідуальні домашні завдання до теми 9

1-5. Звести рівняння до канонічного вигляду.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6-10. Звести рівняння до канонічного вигляду в кожній із областей, де його тип зберігається.

6. .

7. .

8. .

9. .

10.

Тема 10. Зведення до канонічного вигляду диференціальних рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами

Задача 1. Звести наступне диференціальне рівняння з частинними похідними до канонічного вигляду

. (1)

Розв’язання. Тут , . Отже, рівняння (1) – це рівняння еліптичного типу. Характеристичне рівняння має наступний вигляд:

,

,

Отже,

або .

Розв’язавши вищевказані звичайні диференціальні рівняння, отримаємо рівняння першої характеристики

,

та рівняння другої характеристики

.

Щоб отримати рівняння з дійсними коефіцієнтами проведемо наступну заміну змінних

, ,

де , . Тоді

, .

Проводимо заміну похідних:

;

;

Підставивши знайдені похідні в (1), отримаємо:

,

. (2)

Для подальшого спрощення введемо заміну

,

де - нова невідома функція;

,  - сталі, які потрібно знайти.

Тоді

;

;

;

.

Проводячи заміну, з рівняння (2) дістанемо

. (3)

Виберемо  та  з умови рівності нулю коефіцієнтів при та . Маємо

При знайдених та з (3) отримаємо

,

де , , .

Індивідуальні домашні завдання до теми 10

Звести рівняння до канонічного вигляду.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. , a,b,c – const.

9. , a,b,c – const.

Тема 11. Задача Коші для рівнянь гіперболічного типу. Метод характеристик

Задача 1. Розв’язати задачу Коші

,

, ,

Розв’язання. Як відомо, розв’язок задачі Коші

,

, .

можна знайти за формулою

.(1)

Використовуючи (1) в нашому випадку, отримаємо

.

Задача 2. Знайти загальний розв’язок рівняння, попередньо звівши його до канонічного вигляду

. (2)

Розв’язання. Визначимо тип рівняння (2). рівняння (2) є рівнянням гіперболічного типу. Характеристичне рівняння має вигляд

,

,

,

або ,

, .

Проводимо наступну заміну змінних:

, .

Тоді

, .

.

.

.

Підставляючи знайдені похідні в рівняння (2), отримуємо

,

. (3)

В рівнянні (3) проведемо наступну заміну:

,

де ‑ нова невідома функція ; ,  ‑ поки що довільні константи.

Тоді

, , ,

, .

З (3) отримуємо

,

. (4)

Поклавши , , рівняння (4) набуває вигляду:

. (5)

Інтегруємо рівняння (5)

,

де ‑ довільна функція. Далі

,

де ‑ довільна функція. Отже,

.

Повертаючись до вище проведених замін змінних, дістанемо

,

,

де ‑ довільні, двічі неперервно диференційовні функції.

Індивідуальні домашні завдання до теми 11

1-5. Розв’язати задачу Коші.

1. ,

.

2. ,

.

3. ,

.

4. ,

.

5. ,

.

6-9. Знайти загальний розв’язок рівняння, попередньо звівши його до канонічного вигляду.

6. .

7. .

8. .

9. .