Модуль іі. Диференціальні рівняння математичної фізики Розділ і. Диференціальні рівняння математичної фізики в частинних похідних § 22. Диференціальні рівняння в частинних похідних другого порядку

Вивчення багатьох питань теоретичної фізики в математичному плані зводять до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних другого порядку. Загальний вигляд лінійного рівняння другого порядку відносно шуканої функції з двома незалежними змінними і такий:

, (1)

де – певні функції та . Якщо , то рівняння (1.1) називають однорідним; якщо ж – неоднорідним. У випадку, коли коефіцієнти – сталі, рівняння (1) називають лінійним рівнянням з сталими коефіцієнтами.

Більш загальним, ніж (1.1), є рівняння виду

, (2)

де Ф - деяка (необов’язково лінійна) функція незалежних змінних , y, шуканої функції і її частинних похідних першого порядку. Рівняння (2) лінійне відносно похідних другого порядку.

Всю сукупність лінійних рівнянь можна поділити на 3 типи. Кожному з цих трьох типів рівнянь відповідає певне рівняння найпростішого виду, яке називають канонічним. Віднесення рівняння до того чи іншого типу залежить від співвідношення між коефіцієнтами при похідних другого порядку; далі це уточнимо математично.

З метою зведення рівняння (1.2) до канонічної форми здійснимо заміну незалежних змінних за формулами

, , (3)

які встановлюють взаємно однозначну відповідність між точками ( , ) і ( , ) належних плоских областей. Функції і вважатимемо неперервними разом з частинними похідними першого та другого порядку. Обчислимо похідну

,

або інакше

; (4)

аналогічно ;

далі

тобто (5)

Формули (4) для застосуємо до :

.

Аналогічно .

Підставляючи i в (5), знаходимо:

або (6)

Аналогічно обчислюємо ще похідні:

(7)

(8)

Підставляючи знайдені значення в рівняння (2), дістанемо:

, (9)

де Ф₁ – деяка нова функція своїх аргументів і

(10)

Безпосередня перевірка вказує, що

. (11)

§23. Класифікація диференціальних рівнянь в частинних похідних

За загальноприйнятою класифікацією вважають, що рівняння (22.2) належать до:

1. гіперболічного типу, коли

2. еліптичного типу, коли

3. параболічного типу, коли .

Це слід розуміти так. Якщо умова справджується в деякій області ∆ площини , то кажуть, що в області ∆ рівняння (22.2) належить до гіперболічного типу; аналогічно говорять і про інші типи рівнянь – еліптичний, параболічний.

Із тотожності (22.11) випливає, що при заміні незалежних змінних за формулами (22.3) тип рівняння (22.2) не зміниться. Справді, відповідність між , і , взаємно однозначна, якобіан перетворення (22.3) відмінний від нуля: (ця умова випливає з розгляду неоднорідної системи рівнянь яка повинна допускати відмінні від нуля однозначні розв’язки для ).

Розглянемо зведення рівняння (22.2) до канонічної форми у трьох випадках: , , .

1) в деякій області ∆ площини . У цьому випадку існують такі функції і в області ∆, що заміною змінних (22.3) рівняння (22.2) зводиться до найпростішої форми

, (1)

яку називають канонічною.

Далі подаємо лише метод відшукування функцій та перетворення (22.3), яке зводить рівняння (22.2) до канонічної форми (1): умови існування функцій та детально не аналізуємо.

Якщо в розглядуваній області, то рівняння (22.2) за допомогою ділення на відразу зводиться до канонічної форми. Тому вважатимемо, що хоча б один з цих двох коефіцієнтів відмінний від нуля. Наприклад, в усіх точках області ∆ нехай буде . У цьому випадку за та в формулах (22.3) слід взяти функції, які перетворюють в нуль коефіцієнти та зведеного рівняння (22.9), тобто які є розв’язками рівнянь

:

:

Ці квадратні відносно та рівняння зовсім однакові. Кожне з них розпадається на два рівняння типу

(2)

які в свою чергу приводять, як це обґрунтовується в курсах диференціальних рівнянь, до розгляду звичайних диференціальних рівнянь

У відокремленій формі ці останні рівняння такі:

, (3)

Отже, в розглянутому випадку функції та , що перетворюють в нуль коефіцієнти та , є розв’язками рівнянь (3). Тут (це видно з тотожності (22.11)), і за допомогою ділення 2 в рівняння (22.9) зводиться до канонічної форми.

Загальні розв’язки двох рівнянь (3), тобто

, (4)

називають характеристиками рівнянь (22.2). Самі рівняння (3) є диференціальними рівняннями характеристик. Ніякі дві характеристики з двох різних сімейств не дотикаються одна одної, тому що праві частини (3) різні. Розглянутий метод зведення рівняння (22.2) називають перетворенням рівняння (22.2) до характеристик.

Канонічний тип гіперболічного рівняння подають і в іншій формі:

(5)

тому при заміні змінних

друга похідна в (1) перетворюється в різницю . Дійсно, якщо

, ,

то , ,

.

Отже, у випадку рівняння (22.2) зводиться до канонічної форми, коли за нові незалежні змінні , обрати функції та , що визначають різні сімейства його характеристик.

2) в області ∆ площини . У цьому випадку в області ∆ існують такі функції та , що заміною змінних (22.3) рівняння (22.2) зводиться до канонічної форми:

. (6)

Переконатися в справедливості цього твердження можна так. Коли здійснити формально таке саме перетворення, як і в першому випадку, то матимемо знову канонічне рівняння (1), яке в змінених позначеннях має вигляд:

(7)

(замість , введено нові позначення незалежних змінних , ).

Оскільки , диференціальні рівняння (3) будуть мати вигляд:

; ,

і їм відповідають комплексно спряжені загальні розв’язки, які подамо у вигляді:

. (8)

Отже, незалежні змінні виявляються в цьому випадку комплексно спряженими:

; .

Щоб переписати рівняння (7) в дійсних змінних, слід обрати за нові незалежні змінні такі дійсні функції:

, (9)

або , (10)

Тоді звичайні обчислення дають , і остаточно канонічна форма еліптичного рівняння така:

(11)

Отже, у випадку рівняння (22.2) зводиться до канонічної форми заміною змінних

, ,

де , - нові незалежні змінні, а та – дійсна та уявна частини комплексно спряжених загальних розв’язків (22.1) диференціальних рівнянь характеристик. Зауважимо, що самі характеристики в розглядуваному випадку уявні.

3) в області ∆ площини . У цьому випадку в області ∆ існують такі дві функції і , що заміна змінних (22.3) приводить рівняння (22.2) до канонічної форми:

. (12)

Знову подаємо тільки спосіб визначення функцій і .

Функцію підбираємо так, щоб коефіцієнт перетвореного рівняння (22.9) дорівнював нулю:

.

На відміну від випадку гіперболічного рівняння тепер маємо тільки одне сімейство характеристик, диференціальне рівняння якого

(13)

(вважаємо, як і раніше, що в області ∆), і загальний розв’язок цього рівняння буде .

Якщо за першу з двох нових незалежних змінних взяти функцію , то не тільки коефіцієнт а, але й коефіцієнт b перетвореного рівняння дорівнюватиме 0 (це видно з тотожності (22.11) та умови параболічності ). За другу незалежну змінну можна взяти функцію де – довільна двічі диференційована функція така, що не перетворює в нуль коефіцієнт , ми й дістанемо шукану канонічну форму (12).

Отже, у випадку рівняння (22.2) зводиться до канонічної форми, коли за нові незалежні змінні і взяти функції і , перша з яких визначає сімейство характеристик, а друга довільна двічі диференційована функція, що не перетворює в нуль вираз