§ 21. Тензор кривизни

Звернемось знову до поняття про паралельний перенос вектора. Виявляється, що у викривленому просторі паралельний перенос вектора з однієї точки в іншу дає різні результати, якщо він здійснюється по різним шляхам. Зокрема, звідси випливає, що якщо переносити вектор паралельно самому собі по деякому замкнутому контуру, то він, повернувшись в початкову точку, не співпаде сам з собою. Для того, щоб зрозуміти це, розглянемо 2-вимірний викривлений простір, тобто яку-небудь поверхню, наприклад АВСА, обмежену контуром. Перенесемо вектор паралельно вздовж цього контура. При переміщенні вздовж лінії АВ вектор , весь час зберігаючи однаковий кут з тією лінією, перейде в вектор . При переносі вздовж ВС він так само прийде в вектор . Нарешті, при русі з С в А вздовж СА, зберігаючи сталий кут з цією кривою, вектор перейде в .

Виведемо загальну формулу, яка визначає зміну вектора при паралельному переносі вздовж нескінченно малого замкнутого контура. Цю зміну можна записати як по заданому контуру. Враховуючи (20.9): , маємо:

. (1)

Застосовуючи тепер до інтеграла (1) теорему Стокса і враховуючи, що площа обмеженої контуром поверхні є нескінченно мала величина (площа проекції паралелограма, побудованого на векторах ), отримуємо:

. (2)

Оскільки площа поверхні – нескінченно мала, то наближено можна вважати, що всередині контуру , тобто . Підставляючи ці похідні в (2), знайдемо остаточно

, (3)

де - тензор 4-го рангу:

. (4)

Тензорний характер випливає з того, що в (3) зліва стоїть вектор – різниця значень вектора в одній і тій же точці. Тензор називають тензором кривизни або тензором Рімана-Крістофеля.

Якщо двічі коваріантно продиференціювати вектор по і , то результат залежить, взагалі кажучи, від порядку диференціювання, в супереч тому, що має місце для звичайних похідних, а саме:

, (5)

тобто ця різниця також визначається тензором кривизни, що можна перевірити безпосереднім обчисленням.

В плоскому просторі тензор кривизни дорівнює 0, тому що в ньому можна вибрати СК (наприклад, декартову), в якій повсюди , а тому і . В силу тензорного характеру і в будь-якій іншій СК. Це відповідає тому, що в плоскому просторі паралельний перенос вектора з однієї точку в іншу є однозначна операція, а при обході замкнутого контура вектор не міняється.

Має місце і обернена теорема: якщо , то простір плоский. Отже, рівність або нерівність нулю тензора кривизни є критерієм того, чи є простір плоским чи є викривленим.

Якщо перейти в тензорі кривизни від змішаних компонентів до коваріантних:

, (6)

то з допомогою простих перетворень легко отримати для них вираз:

(7)

З цього виразу випливають такі очевидні властивості симетрії:

, (8)

, (9)

а також тотожність Біанкі

. (10)

З тензора кривизни за допомогою згорток можна отримати тензор 2-го рангу

. (11)

Цей тензор називається тензором Річчі і дорівнює, згідно (4)

. (12)

Тензор Річчі є симетричним:

, (13)

а його згортка дає скаляр

, (14)

який називається скалярною кривизною простору. А.Ейнштейн в загальній теорії відносності ввів у розгляд також тензор, який називають тензором Ейнштейна:

. (15)