§20. Диференціювання тензорів

Нехай задано поле деякого тензора, наприклад, контрваріантного тензора 1-го рангу вектора з компонентами в точці . В нескінченно близькій т. цей вектор має компоненти . Отже, є різниця 2-х векторів, що знаходяться в різних (нескінченно близьких) точках простору. Але оскільки коефіцієнти в формулах перетворення

(1)

є функціями координат, то в різних точках вектори перетворюються по різному, тому не є вектором. Дійсно, формули перетворення відрізняються від формул перетворення векторів (1):

. (2)

Чим викликана поява ? Чи криволінійним характером координат, чи тією обставиною, що вектор поля в т. не дорівнює вектору поля в т. ? Для того, щоб взнати, чи міняється вектор поля при переході однієї т. простору до іншої, нескінченно близької, чи залишається незмінним, необхідно якось перенести один із двох нескінченно близьких векторів (точніше, його копію) в точку, де находиться другий, і знайти різницю обох векторів, що вже відносяться до однієї і тієї ж точки простору. Сама операція переносу полягає в тому, що ми в т. будуємо локальну евклідову СК, в якій вектор має компоненти , а потім в точці будується вектор з тими ж компонентами в локальній евклідовій СК. Назвемо цю операцію паралельним переносом вектора з т. х в т. . Абсолютним (істинним) приростом вектора називається різниця між вектором поля в т. ( ) і копією вектора поля , перенесеною з т. (х) в т. ( ) паралельно самій собі. є вектор як різниця 2-х векторів, що знаходиться в одній і тій же т. простору, і він не обов’язково співпадає з різницею до переносу (тобто диференціалом ). Отже, приріст складається з двох частин: а) абсолютного приросту ; б) приросту , викликаного криволінійним характером системи координат і простору:

, (3)

причому

(4)

а , або

, (5)

де коефіцієнт пропорційності називають символами Крістофеля (другого роду), які не є тензорною величиною, оскільки δv^μ не є вектором. Отже, абсолютний приріст вектора v^μ дорівнює:

(6)

Із (6) ми визначаємо так звану коваріантну похідну:

(7)

Така величина вже є тензором: (8)

Знайдемо зміну компонент коваріантного вектора при паралельному переносі. Для цього врахуємо, що при паралельному переносі скаляри не міняються. Тоді не міняється і скалярний добуток 2-х векторів : ; [поміняємо позначення індексів] . Звідси, внаслідок довільності , знайдемо

. (9)

Абсолютний приріст коваріантного вектора

(10)

визначає коваріантну похідну коваріантного вектора:

. (11)

Правило визначення коваріантної похідної по x^ν довільного тензора є узагальненням формул (7) і (11): вона дорівнює "+", для кожного контраваріантного індекса μ, член , помножений на , де μ замінено на ; "–", для кожного коваріантного індекса λ, член , помножений на , де λ замінено на κ, тобто:

(12)

Доведемо тепер, що коваріантна похідна від матричного тензора g_μv дорівнює 0. Для цього відмітимо, що для вектора DA_μ, як і для любого вектора має місце . З іншого боку, , тому , тому , тому і коваріантна похідна

. (13)

Отже, при коваріантному диференціюванні компоненти метричного тензора треба розглядати як сталі. Рівністю (13) можна скористатись для того, щоб виразити через метричний тензор . Згідно з визначенням коваріантних похідних:

. (14)

Звідси та і . Комбінуючи ці вирази (з урахуванням симетрії ), знайдемо

,

. (15)