§17. Тензори

Не тільки координати і їх диференціали зазнають змін при перетвореннях координат. Можна припустити, що зазнають змін і деякі окремі функції або набори функцій, визначені в кожній точці . Припустимо, зокрема, що функція чисельно не міняється, хоч її формальний математичний вигляд (вираз) може змінитись при перетворенні координат (16.2). Тоді називають скаляром або тензором нульового рангу. Наприклад, в декартовій системі координат електростатичний потенціал точкового заряду виражається функцією , а в сферичній системі координат функцією , але значення потенціалу в даній точці не залежить від системи координат: .

Розглянемо тепер набір із функцій , причому кожна є відомою функцією , і нехай до координат застосовується перетворення (16.2). Тоді ці функцій називаються компонентами контраваріантного вектора або контраваріантного тензора першого рангу, якщо ці функції перетворюються по тому ж правилу, що й диференціали координат (16.4), тобто якщо перетворені функції зв’язані з формулами

. (1)

З цього визначення випливає, що диференціали ( ) самі утворюють компоненти деякого контраваріантного тензора першого рангу.

Вектор другого роду з компонентами називається коваріантним вектором (коваріантним тензором першого рангу), якщо його компоненти перетворюються по закону

. (2)

Зв'язок коваріантних і контраваріантних векторів визначається теоремою: сума добутків завжди є скаляр для любої пари векторів, і називається скалярним добутком.

Доказ: . Але координати незалежні, тому . Звідси випливає, що , так що величина суми добутків не змінюється при перетворенні координат і, отже, є скаляром. Сума добутків відповідних компонентів деякого коваріантного і деякого контраваріантного вектора називається скалярним або внутрішнім добутком цих двох векторів.

Цікаво, що будь-якому члену в цих формулах, в якому індекс зустрічається двічі – один раз вгорі, і один раз внизу – неодмінно приписується підсумовування по цьому повторюваному індексу від 1 до . Для скорочення записів було запропоновано опустити знак суми і прийняти домовленість про підсумовування, за якою по індексу, що зустрічається в деякому члені формули двічі – вгорі і внизу – передбачається підсумовування таких членів по всім значенням індексу від 1 до . Так, наприклад, формули (1) і (2) переписуються у вигляді:

, . (3)

Приведені вище визначення скалярів і векторів суттєво залежать від законів перетворення функцій координат. Розширенням цих понять є об’єкти, закони перетворення яких аналогічні, але більш складні, ніж закони перетворення скалярів або векторів. Наприклад, функцій координат ( ) з законом перетворення

( ) (4)

утворюють так званий контраваріантний тензор другого рангу, а окремі функції називають компонентами тензора. Аналогічно функцій координат із законом перетворення

(5)

утворюють коваріантний тензор другого рангу. Нарешті, можна визначити функцій координат , закон перетворення яких має частково коваріантний і частково контраваріантний характер, а саме:

. (6)

В такому випадку говорять, що сукупність функцій утворює змішаний тензор другого рангу.

Закони перетворення тензорів другого рангу (4-6) схожі на закони перетворення добутку двох векторів, але це не означає, що любий тензор другого рангу може бути представлений у вигляді деякої комбінації (добутку) векторів.

Можна визначити тензор більш високого рангу, ніж 2, за допомогою правила, що кожному контраваріантному індексу ставиться у відповідність закон перетворення, аналогічний закону перетворення контраваріантного вектора, і що коваріантний індекс задовольняє правилу перетворення коваріантного вектора. Так, сукупність функцій координат утворює тензор 4-го рангу з трьома коваріантними і одним контраваріантним індексами. Закон перетворення цього тензора має вигляд:

. (7)

Ранг тензора є число індексів у його компонентах.