Індивідуальні домашні завдання до теми 6
1-2. Знайти градієнт скалярного поля в циліндричних координатах:
1.
;
2.
.
3-5. Знайти градієнт скалярного поля у сферичних координатах:
3.
;
4.
;
5.
,
.
6-7. Визначити дивергенцію векторного поля в циліндричних координатах:
6.
;
7.
.
8. Визначити дивергенцію векторного поля у сферичних координатах:
.
9-11. Визначити ротор наступних векторних полів:
9.
,
;
10.
;
11.
.
12. Показати, що векторне поле є потенціальним.
13-14. Визначити потік векторного поля, заданого в циліндричних координатах через дану поверхню :
13.
,
- замкнута поверхня, утворена циліндром
і площинами
і
.
14.
,
- замкнута поверхня, утворена циліндром
,
півплощинами
і
та площинами
і
.
15. Знайти
потік векторного поля
через сферу радіуса
з центром в початку координат.
16. Знайти
потік векторного поля, заданого в
сферичних координатах
через верхню півсфери радіуса
.
17. Знайти
потік векторного поля, заданого в
сферичних координатах
через сферу
.
18. Знайти
потік векторного поля, заданого в
сферичних координатах
через поверхню, обмежену півсферами
радіуса
і площиною
,
в напрямі вектора
.
19. Знайти
потік векторного поля, заданого в
сферичних координатах
через зовнішню сторону замкнутої
поверхні, утвореної верхньою частиною
конуса
і площиною
.
20-24. Показати, що векторне поле, задане в циліндричних координатах, є потенціальними, і знайти його потенціал.
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
.
25-29. Встановити потенціальність наступних векторних полів, заданих в сферичних координатах, і знайти їх потенціали.
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
.
30-32. Визначити циркуляцію векторних полів, заданих в циліндричних координатах, по заданим контурам безпосередньо і за допомогою теореми Стокса.
30.
,
- коло:
;
31.
,
- коло:
;
32.
,
- петля:
.
33-35. Визначити циркуляцію векторних полів, заданих в сферичних координатах, за даним контуром безпосередньо і за допомогою теореми Стокса.
33.
,
- коло:
;
34.
,
- петля:
;
35.
,
- контур, обмежений півколом:
і її вертикальним діаметром:
.
Розділ ііі. Тензорний аналіз §16. Точковий многовид. Допустимі перетворення координат.
Математичний апарат, який називається тензорним численням, має багато застосувань в математичній фізиці, де, проте, можна обійтись і без нього. Але в теорії відносності без тензорного числення не можна обійтись, як в механіці Ньютона неможливо обійтись без допомоги диференційного і інтегрального числення.
Фундаментальним
поняттям тензорного аналізу є поняття
геометричної точки, яка визначається
через задання її координат. Так, в
евклідовій геометрії точка визначається
заданням її трьох декартових координат
або її сферичних координат
.
Про сукупність точок, що утворюють
простір, говорять як про багатовимірний
точковий многовид. Число вимірів
многовиду дорівнює числу незалежних
координат, необхідних для визначення
положення точки в цьому многовиді.
В
попередньому розділі ми мали справу зі
звичайним тривимірним евклідовим
простором, в якому для повного задання
точки необхідно три координати, а
геометрія простору визначається
аксіомами Евкліда. Цей простір утворює
тривимірний точковий многовид.
Узагальненням цих ідей -
-
вимірним точковим многовидом – є
многовид, для повного визначення кожної
точки якого необхідно задати
незалежних дійсних чисел
.
Сукупність цих
чисел позначимо
і називатимемо координатами точки. Про
структуру многовиду поки що нічого не
припускається, крім неперервності в
тому розумінні, що біля кожної точки
є інші точки, координати яких нескінченно
мало відрізняються від координат точки
.
Така сусідня точка має координати
,
причому малі величини
називаються
диференціалами координат
.
Координати
є важливим засобом опису точки. Цей опис
може бути змінений, і одна з задач
тензорного аналізу полягає в тому, щоб
визначити, які зміни викликаються
довільною зміною координат всіх точок
многовиду. Операція, з допомогою якої
координати
кожної точки заміняються на
,
називається перетворенням координат.
З попереднього розділу відомі перетворення
від декартових координат
,
до сферичних координат
в тривимірному евклідовому просторі:
,
(1)
причому ця сукупність перетворень може бути розв’язана відносно координат (див. §14).
В - вимірному многовиді перетворення координат виражається через рівностей:
(2)
причому припускається, що існує зворотне перетворення:
.
(3)
Для
того, щоб перетворення (2) або (3) були
однозначними всюди в
-
просторі функції
та
повинні бути однозначними і неперервно
диференційованими. Якщо взяти диференціали
рівностей (2), отримаємо
. (4)
Ці формули дають перетворення диференціалів при зміні координат. З них випливає, що допустимі перетворення, які визначають взаємно однозначну відповідність координат і , повинні задовольняти умові, що якобіан – функціональний визначник системи (4), повинен бути відмінним від нуля:
.
(5)
Якщо це
не так, то тоді диференціали
не є незалежними, тобто з’являється
певна довільність, зникає взаємна
однозначність між координатами
і
.