64

Дудик М.В.

Діхтяренко Ю.В.

Декарчук с.О. Математичні методи фізики Навчальний посібник

для студентів вищих навчальних закладів

фізико-математичних спеціальностей

Умань 2015

УДК 53-7 (075.8)

ББК 22.311я73

М34

Рецензенти:

Краснобокий Ю.М., кандидат фізико-математичних наук, доцент

Дякон В.М., кандидат фізико-математичних наук, доцент

Рекомендовано до друку Вченою радою фізико-математичного факультету Уманського державного педагогічного університету імені Павла Тичини

(протокол № 5 від 18.12.2014 р.)

Укладачі: Дудик М.В., Діхтяренко Ю.В., Декарчук С.О.

К47 Математичні методи фізики (курс лекцій): навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів фізико-математичних спеціальностей. – Умань: ПП «Жовтий», 2015. – 115 с.

© Дудик М.В., Діхтяренко Ю.В., Декарчук С.О.

© Спд Жовтий, 2015

Зміст

§1. Вступ. Предмет і задачі математичної фізики 5

МОДУЛЬ І. Математична теорія поля 6

Розділ I. Векторний аналіз 6

§2. Градієнт скалярного поля і його властивості 6

§3. Оператор «набла» 7

§4. Похідна скалярного поля по напрямку 7

§5. Дивергенція векторного поля 8

§6. Поверхневий інтеграл і потік векторного поля 9

§7. Теорема Остроградського – Гауса 10

§8. Ротор векторного поля 11

§9. Циркуляція векторного поля 11

§10. Зв'язок ротора з циркуляцією. Теорема Стокса 12

§11. Диференційні операції другого порядку 14

Приклади розв’язання задач 16

Розділ ІІ. Криволінійні координати 32

§12. Системи криволінійних координат 32

§13. Коефіцієнти Ламе 33

§14. Циліндрична і сферична системи координат 34

§15. Диференційні оператори в криволінійних координатах. 36

Розділ ІІІ. Тензорний аналіз 47

§16. Точковий многовид. Допустимі перетворення координат. 47

§17. Тензори 48

§18. Алгебра тензорів 50

§19. Рімановий простір. Метричний тензор 51

§20. Диференціювання тензорів 53

§21. Тензор кривизни 56

§1. Вступ. Предмет і задачі математичної фізики

Фізика в своєму історичному розвитку поступово перетворювалась з науки описової в науку точну. Для характеристики різних явищ і процесів, що відбуваються в природі і техніці, фізики все ширше використовують математичні методи.

Розрізняють різні типи величин, що характеризують фізичні властивості тіла. Найпростіші властивості, такі як довжина, площа, об’єм, маса, температура, електричний заряд і т.п., описуються скалярними величинами. Так називаються фізичні величини, які в вибраній системі одиниць вимірювань визначаються одним тільки числом.

Згодом виявилось, що багато фізичних величин по своєму змісту зв’язані з напрямком в просторі. Щоб задати таку величину, треба вказати не тільки її числове значення, але й певний напрямок. Такі величини називаються векторами. Це напрямлені відрізки. Приклади векторів – швидкість, прискорення, сила.

В кінці 19 століття фізикам стало ясно, що для опису деформацій, інерції при обертальних рухах і т.п. необхідні величини ще більш складної математичної природи – тензори.

З іншого боку, розвиток кількісних методів показав, що одна і та ж властивість в різних точках об’єкту може приймати різні значення, і тому для математичного опису необхідно знати сукупність значень відповідної величини у всіх точках досліджуваного об’єкту. Так в фізиці з’явилось поняття поля – області в просторі, кожній точці якого відповідає певне значення деякої фізичної величини. Поля бувають скалярними (поле температур, електричного потенціалу), векторними (поле швидкостей плинної рідини, поле напруженості електричного або магнітного поля), тензорними (кривина, поле деформації). Кожне з них, у свою чергу, може бути стаціонарним, якщо фізична величина у кожній точці області з часом не змінюється, або нестаціонарним. Стаціонарне поле залежить від трьох координат, нестаціонарне є функцією 4-х змінних – трьох просторових координат і часу.

Основна задача математичної фізики – це аналітичні дослідження скалярних, векторних і тензорних полів фізичних величин.

В математичній фізиці розглядаються дві проблеми – пряма і обернена. Пряма задача: задано поля фізичної величини, потрібно встановити характер цього поля, тобто швидкість його зміни від точки до точки. Вивченням диференційних властивостей різних полів займається математична теорія поля.

Обернена задача полягає в знаходженні поля деякої фізичної величини, тобто конкретного виду математичного поля, якщо відомі умови, в яких перебуває фізичний об’єкт. Як правило, поле описується диференційними рівняннями, що характеризують відповідний процес або явище. Обернена задача математичної фізики вивчається теорією диференційних рівнянь в частинних похідних, яка займається складанням, і головне, інтегруванням рівнянь.