Основные формулы

 Закон Био — Савара — Лапласа

,

где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом dl проводника с током I;  — магнитная проницаемость; ₀ — магнитная постоянная (₀ =4 · 10 ^-7 Гн/м); dl — вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I — сила тока; r — радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция.

 Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнитного поля (в случае однородной, изотропной среды) соотношением

 Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,

,

где r — расстояние от оси проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводником (см. рис)

.

 Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в сред­ней его части (или тороида на его оси),

где п — число витков, приходящих­ся на единицу длины соленоида; I — сила тока в одном витке.

 Принцип суперпозиции маг­нитных полей: магнитная индук­ция В результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций В₁, В₂, ..., В_n складываемых полей.

 Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле,

,

где I — сила тока; l — вектор, равный по модулю длине l проводника и совпадающий по направлению с током; В — магнитная индукция поля.

 Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных па­раллельных проводников с токами I₁ и I₂, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной l выражается формулой

.

 Магнитный момент контура с током

,

где S — вектор, равный по модулю площади S, охватываемой кон­туром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.

 Механический момент, действующий на контур с током, по­мещенный в однородное магнитное поле,

.

 Потенциальная (механическая) энергия контура с током в магнитном поле

 Сила, действующая на контур с током в магнитном поле (из­меняющемся вдоль оси x),

,

где —изменение магнитной индукции вдоль оси Ох, рассчи­танное на единицу длины; α — угол между векторами р_m и B.

 Сила F, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В (сила Лоренца), выражается фор­мулой

F=Q [v B] или F=|Q|B sin,

где — угол, образованный вектором скорости v движущейся ча­стицы и вектором В индукции магнитного поля.

 Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S:

а) в случае однородного поля

Ф=BS cos ; или Ф = B_nS,

где  — угол между вектором нормали n к плоскости контура и век­тором магнитной индукции В; В_n — проекция вектора В на нормаль n (B_n=B cos );

б) в случае неоднородного поля

где интегрирование ведется во всей поверхности S.

 Потокосцепление, т.е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида или тороида,

где Ф — магнитный поток через один виток; N — число витков со­леноида или тороида.

 Работа по перемещению замкнутого контура с током в маг­нитном поле

A=I Ф,

где Ф — изменение магнитного потока, пронизывающего поверх­ность, ограниченную контуром; I — сила тока в контуре.

 Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея — Максвелла)

,

где N — число витков кон­тура;  — потокосцепление.

Электродвижущая сила индукции , возникающая в рамке, содержащей N витков, площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью со в однородном магнитном поле с индукцией В

,

где t — мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали n к плоскости рамки.

 Электродвижущая сила самоиндукции возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем,

,

где L — индуктивность контура.

 Потокосцепление контура =LI, где L — индуктивность контура.

 Индуктивность соленоида (тороида)

.

 Энергия W магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, определяется формулой

,

где I — сила тока в контуре.

 Объемная (пространственная) плотность энергии однородного магнитного поля (например, поля длинного соленоида)

.

Примеры решения задач

Пример 1. Определите магнитную индукцию В поля, создаваемо­го отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равно­удаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r₀ = 20 см от середины его (см. рис. к задаче). Сила тока I, текущего по про­воду, равна 30 А, длина l отрезка равна 60 см.

Решение. Для определения магнитной индукции поля, соз­даваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био— Савара—Лапласа:

(1)

П режде чем интегрировать выражение (1), преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу . Выразим длину элемента dl проводника через d. Согласно рисунку, запишем

Подставим это выражение dl в формулу (1):

Но r — величина переменная, зависящая от  и равная: Подставив r в предыдущую формулу, найдем

(2)

Чтобы Определите магнитную индукцию поля, создаваемого от­резком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от ₁ до ₂:

(3)

Заметим, что при симметричном расположении точки A относитель­но отрезка провода cos₂= –cos₁. С учетом этого формула (3) примет вид

(4)

Из рисунка следует, что

Подставив выражение cos₁ в формулу (4), получим

Подставим числовые значения в формулу (5) и произведем вы­числения:

Пример 2. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от дру­га, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислите силу F взаимодей­ствия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток соз­дает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Пред­положим, что оба тока (обозначим их 1_г и I₂) текут в одном направ­лении.

Вычислим силу F₁,₂, с которой магнитное поле, созданное током I₁, действует на проводник с током I₂. Для этого проведем магнит­ную силовую линию так (штриховая линия на рисунке к задаче), чтобы она касалась проводника с током I₂. По касательной к силовой линии проведем вектор магнитной индукции В₁. Модуль магнитной индук­ции B₁ определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током I₂ длиной dl₂ действует в магнитном поле сила

Так как отрезок dl перпендикулярен вектору B₁, то

и тогда

(2)

Подставив в выражение (2) В₁ из (1), получим

__________________

Длинный проводник при условии, что l>>d можно приближенно рассматривать как бес­конечно длинный

Силу F_1,2 взаимодействия * проводников с током найдем интегрированием по всей длине второго проводника:

Заметив, что I₁=I₂=I и l₂=l, получим

Произведем вычисления:

Сила F₁,₂ сонаправлена с силой dF₁,₂ (см. рис. к задаче) и определяется (в данном случае это проще) правилом левой руки.

_________________

* По третьему закону Ньютона, сила, действующая на первый проводник со стороны второго, будет равна найденной по модулю и противоположной по направлению.

Пример 3. Электрон, имея скорость  = 2 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 30 мТл под углом  = 30° к направлению линий индукции. Определите радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Решение. Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции В и скорости v частицы:

F =QB sin , (1)

где Q — заряд частицы.

В случае, если частицей является электрон, формулу (1) можно записать в виде:

F= eB sin .

Так как вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скоро­сти, то модуль скорости не будет изменяться под действием этой силы. Но при постоянной скорости, как это следует из формулы (1), останется постоянным и значение силы Лоренца. Из механики известно, что постоянная си­ла, перпендикулярная скорости, вызывает движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в магнитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, рав­ной поперечной составляющей ₁ скорости (см. рис. к задаче); одновременно он будет двигаться и вдоль поля со ско­ростью _:

_ =  sin , _ =  cos .

В результате одновременного участия в движениях по окружно­сти и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии.

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем сле­дующим образом. Сила Лоренца F_л сообщает электрону нормальное ускорение а_п. По второму закону Ньютона, F=ma_n, где F=e_B и a_n=² _/R,. Тогда e_B = m_²/R, откуда после сокращения на _z (ось z совпадает с направлением силы Лоренца ) находим радиус винтовой линии:

Подставив значения величин т, , e, В и  и произведя вычисле­ния, получим: R=0,19 мм.

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью _x за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот,

h =_ T (2)

где T=2R/_— период вращения электрона.

Тогда получим: h=2,06 мм.

Пример 4. Виток, по которому течет ток I = 20 А, свободно уста­новится в однородном магнитном поле В = 16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно по­вернуть виток на угол =/2 относительно оси, совпадающей с диа­метром?

Р ешение. При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выраже­нием

A=I(Ф₂-Ф₁),

где Ф₁ и Ф₂ — магнитные потоки, пронизывающие контур в началь­ном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и про­тивоположна ей по знаку, т. е.

A_вн=I(Ф₂-Ф₁) (1).

Так как в начальном положении контур установился свободно (по­ложение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного мо­мента p_m контура сонаправлен с вектором В (см. рис. к задаче, а) и магнит­ный поток Ф₁ максима­лен (=0, cos =1), т. е. Ф₁=ВS (где S — площадь контура). В ко­нечном положении (см. рис. к задаче, б) вектор p_m перпендикулярен вектору B (=/2, cos =0) и маг­нитный поток Ф₂=0. Перепишем выражение (1) с учетом сделан­ных замечаний:

A_вн=IФ₁=IBS

Так как площадь контура S=d²/4. то работа

A_вн=(π/4)IBd².

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):

Произведем вычисления:

.

РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ №3

Таблица 3.1. Список задач по вариантам для расчетного задания № 3.

Вар 1	Вар 2	Вар 3	Вар 4	Вар 5
3.1.1 3.2.1 3.3.1	3.1.2 3.2.2 3.3.2	3.1.3 3.2.3 3.3.3	3.1.4 3.2.4 3.3.4	3.1.5 3.2.5 3.3.5
Вар 6	Вар 7	Вар 8	Вар 9	Вар 10
3.1.6 3.2.6 3.3.6	3.1.7 3.2.7 3.3.7	3.1.8 3.2.8 3.3.8	3.1.9 3.2.9 3.3.9	3.1.10 3.2.10 3.3.10
Вар 11	Вар 12	Вар 13	Вар 14	Вар 15
3.1.11 3.2.11 3.3.11	3.1.12 3.2.12 3.3.12	3.1.13 3.2.13 3.3.13	3.1.14 3.2.14 3.3.14	3.1.15 3.2.15 3.3.15
Вар 16	Вар 17	Вар 18	Вар 19	Вар 20
3.1.16 3.2.16 3.3.16	3.1.17 3.2.17 3.3.17	3.1.18 3.2.18 3.3.18	3.1.19 3.2.19 3.3.19	3.1.20 3.2.20 3.3.20
Вар 21	Вар 22	Вар 23	Вар 24	Вар 25
3.1.21 3.2.21 3.3.21	3.1.22 3.2.22 3.3.22	3.1.23 3.2.23 3.3.23	3.1.24 3.2.24 3.3.24	3.1.25 3.2.25 3.3.25
Вар 26	Вар 27	Вар 28	Вар 29	Вар 30
3.1.26 3.2.26 3.3.26	3.1.27 3.2.27 3.3.27	3.1.28 3.2.28 3.3.28	3.1.29 3.2.29 3.3.29	3.1.30 3.2.30 3.3.30

Задача 1. Магнитное поле постоянного тока

3.1.1. Найдите напряженность магнитного поля H в точке, отстоящей на расстояние a = 2 м от бесконечно длинного проводника, по которому течет ток I = 5 A.

3.1.2. Найдите напряженность Н магнитного поля в центре кругового проволочного витка радиусом R = 1 см, по кото­рому течет ток I = 1 А.

3.1.3. На рис. 3.1 изображены сечения двух прямолиней­ных бесконечно длинных проводников с токами.

Рис. 3.1

Расстояние между проводниками АВ = 10 см, токи I₁ = 20 А и I₂ = 30 А. Найдите напряженности Н магнитного поля, вызванного то­ками I₁ и I₂ в точках М₁, М₂ и М₃. Расстояния М₁A = 2 см, AМ₂ = 4 см и BM₃ = 3 cм.

3.1.4. На рис. 3.2 изображены сечения трех прямолиней­ных бесконечно длинных проводников с токами. Расстоя­ния АВ = ВС = 5 см, токи I₁ = I₂ = I и I₃ = 2I.

Рис. 3.2

Найдите точку на прямой АС, в которой напряженность магнитного поля, вызванного токами I₁, I₂ и I₃, равна нулю?

3.1.5. Два прямолинейных бесконечно длинных провод­ника расположены перпендикулярно друг к другу и нахо­дятся в одной плоскости (см. рис. 3.3). Найдите напряженности H₁ и H₂ магнитного поля в точках M₁ и M₂, если токи I₁ = 2 А и I₂ = ЗА. Расстояния AM₁ = AM₂ = 1 см и BM₁ = СМ₂ = 2 см?

3.1.6. Два прямолинейных бесконечно длинных провод­ника расположены перпендикулярно друг к другу и нахо­дятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. рис. 3.3). Найдите напряженности H₁ и H₂ магнитного поля в точках M₁ и М₂, если токи I₁ = 2 А и I₂ = 3 А. Расстояния AM₁ = AМ₂ = 1 см и AB = 2 см?

Рис. 3.3

3.1.7. Два прямолинейных длинных проводника распо­ложены параллельно друг другу на расстоянии d = 10 см. По проводникам текут токи I₁ = I₂ = 5 А в противоположных направлениях. Найдите модуль и направление напряженности H магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии а = 10 см от каждого проводника?

3.1.8. Найдите напряженность Н магнитного поля, созда­ваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током, в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии а = 5 см от него? По проводнику течет ток I = 20 А. Отрезок АB проводника виден из точки С под углом 60°.

3.1.9. Ток I = 20 А идет по длинному проводнику, со­гнутому под прямым углом. Найдите напряженность H маг­нитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии a = 10 см?

3.1.10. Ток I = 20 А, протекая по кольцу из медной про волоки сечением S = 1 мм², создает в центре кольца напря­женность магнитного поля H = 178 А/м. Какая разность потенциалов U приложена к концам проволоки, образующей кольцо?

3.1.11. Найдите напряженность H магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии а = 3 см от его плоскости. Радиус контура R = 4 см, ток в контуре I = 2 А?

3.1.12. Напряженность магнитного поля в центре круго­вого витка H₀ = 64 А/м. Радиус витка R = 11 см. Найдите напря­женность H магнитного поля на оси витка на расстоянии a = 10 см от его плоскости?

3.1.13. По тонкому бесконечно длинному проводнику течет ток I = 10 А. Найдите распределение индукции магнитного поля B вокруг провода и постройте график зависимости напряженности магнитного поля H, создаваемого проводником с током, от расстояния r до оси провода, если 9 см<r<18 см?

3.1.14. Из проволоки длиной L = 1 м сделана квадратная рамка. По рамке течет ток I = 10 А. Найдите напряженность Н магнитного поля в центре рамки?

3.1.15. По проволочной рамке, имеющей форму правиль­ного шестиугольника, идет ток I = 2 А. При этом в центре рамки образуется магнитное поле напряженностью H = 33 А/м. Найдите длину L проволоки, из которой сделана рамка?

3.1.16. Какой ток необходим бесконечному длинному проводнику с током, чтобы напряженность магнитного поля получилась равной H = 1 кА/м на расстоянии 30 см от провода? Построить график зависимости индукции магнитного поля В от расстояния r (B(r)), если r изменяется в диапазоне от 30 см до 44 см?

3.1.17. Конденсатор емкостью С = 10 мкФ периодически заряжается от батареи с э. д. с. ε = 100 В и разряжается через катушку в форме кольца диаметром D = 20 см, при­чем плоскость кольца совпадает с плоскостью магнитного меридиана. Катушка имеет N = 32 витка. Помещенная в центре катушки горизонтальная магнитная стрелка отклоняется на угол α = 45°. Переключение конденсатора происходит с частотой n = 100 с^-1. Найдите из данных это­го опыта горизонтальную составляющую H_г напряжен­ности магнитного поля Земли?

3.1.18. Между полюсами электромагнита создается од­нородное магнитное поле с индукцией B = 0,1 Тл. По про­воду длиной L = 70 см, помещенному перпендикулярно к направлению магнитного поля, течет ток I = 70 А. Найдите силу F, действующую на провод?

3.1.19. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d₁ = 10 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи I₁ = 20 А и I₂ = 30 А. Какую работу A_t надо совершить (на единицу длины проводников), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния d₂ = 20 см?

3.1.20. Ток силой I, протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S, создаёт в центре кольца индукцию магнитного поля равную B. Какова разность потенциалов между концами проволоки образующее кольцо?

3.1.21. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, течет ток I. Стороны прямоугольника равны a и b. Какова индукция магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямоугольника?

3.1.22. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока, проводнику придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась индукция в центре квадрата?

3.1.23. Длинный прямой соленоид намотан из проволоки диаметром d = 0,5 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Какова индукция магнитного поля внутри соленоида при силе тока I = 5 А?

3.1.24. Три параллельных прямолинейных проводника большой длины расположены в воздухе на расстоянии d = 15 см друг от друга. Сила тока I во всех проводниках равна 12 А. Найдите напряженность Н и индукцию магнитного поля В в точке О, расположенной на одинаковом расстоянии от всех проводников?

3.1.25. Найдите индукцию В магнитного поля в центре контура, имеющего вид прямоугольника, если его диагональ d = 16 см, угол между диагоналями α = 30^о и ток в контуре I = 5 А?

3.1.26. Бесконечно длинный провод с током I = 50 А изогнут под прямым углом. Определите магнитную индукцию В в точке А, лежащей на биссектрисе прямого угла на расстоянии L = 10 см от его вершины.

3.1.27. По трем параллельным прямым бесконечно длинным проводам, находящимся на расстоянии а = 20 см один от другого текут одинаковые токи I = 20 А. В двух проводах направление токов совпадают. Определите индукцию магнитного поля В в точке, лежащей на прямой, равноудаленной от проводов?

3.1.28. По проводнику в виде тонкого кольца радиусом R = 10 см течет ток. Чему равна сила этого тока, если магнитная индукция В поля в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии L = 3R от центра, равна 1 мкТл?

3.1.29. По тонкому проволочному кольцу радиуса R = 10 см. подвешенному на двух гибких проводниках, течет ток силой I = 10 А. С какой силой растягивается кольцо, если горизонтальная составляющая индукции магнитного поля Земли В_г =20 мкТл?

3.1.30. Магнитная стрелка, находящаяся в центре проводящего плоского кольца радиусом R = 10 см, образует угол α = 30° с вертикальной плоскостью, в которой находится кольцо. Определите угол β , на который повернется стрелка при пропускании по кольцу тока силой I = 2 А, если известно, что β > α ?

Задача 2. Сила Лоренца

3.2.1. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,5 Тл движется равномерно проводник длиной L = 10 см. По проводнику течет ток I = 2 А. Скорость движения про­водника υ = 20 см/с и направлена перпендикулярно к на­правлению магнитного поля. Найдите работу А перемещения проводника за время t = 10 с и мощность Р, затраченную на это перемещение?

3.2.2. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 1 кВ, влетает в однородное магнитное поле, направ­ление которого перпендикулярно к направлению его дви­жения. Индукция магнитного поля B = 1,19 мТл. Найдите радиус R окружности, по которой движется электрон, период обращения Т и момент импульса М электрона?

3.2.3. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 300 В, движется параллельно прямолинейному длин­ному проводу на расстоянии а = 4 мм от него. Какая сила F действует на электрон, если по проводнику пустить ток I = 5 А?

3.2.4. Поток α-частиц (ядра атома гелия), ускоренных разностью потенциалов U = 1 MB, влетает в однородное магнитное поле напряженностью H =1,2 кА/м. Скорость каждой частицы направлена перпендикулярно к направ­лению магнитного поля. Найдите силу F, действующую на каждую частицу?

3.2.5. Электрон влетает в однородное магнитное поле, направление которого перпендикулярно к направлению его движения. Скорость электрона υ = 4·10⁷ м/с. Индукция магнитного поля B =1 мТл. Найдите тангенциальное а_τ и нормальное а_n ускорения электрона в магнитном поле?

3.2.6. Найдите кинетическую энергию W (в электрон-вольтах) протона, движущегося по дуге окружности радиу­сом R = 60 см в магнитном поле с индукцией B = 1 Тл?

3.2.7. Протон и электрон, двигаясь с одинаковой ско­ростью, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны R₁ траектории протона больше радиуса кривизны R₂ траектории электрона?

3.2.8. Протон и электрон, ускоренные одинаковой раз­ностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны R₁ траектории протона больше радиуса кривизны R₂ траектории электрона?

3.2.9. На фотографии, полученной в камере Вильсона, траектория электрона в однородном магнитном поле пред­ставляет собой дугу окружности радиусом R = 10 см. Ин­дукция магнитного поля B = 10 мТл. Найдите энергию элект­рона W (в электронвольтах)?

3.2.10. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью υ = 10⁶ м/с. Индукция маг­нитного поля B = 0,3 Тл. Радиус окружности R = 4 см. Найдите заряд q частицы, если известно, что ее энергия W=12 кэВ?

3.2.11. Протон и α-частица влетают в однородное магнитное поле, направление которого перпендикулярно к направлению их движения. Во сколько раз период обра­щения T₁ протона в магнитном поле больше периода об­ращения T₂ α-частицы?

3.2.12. α-частица, кинетическая энергия которой W = 500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпен­дикулярное к направлению ее движения. Индукция маг­нитного поля В = 0,1 Тл. Найдите силу F, действующую на α -частицу, радиус R окружности, по которой движется α-частица, и период обращения Т α-частицы?

3.2.13. α -частица, момент импульса которой М=1,33·10^-22 кг·м²/с, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное к направлению ее движения. Индукция магнитного поля B = 25 мТл. Найдите кинетическую энергию W α-частицы?

3.2.14. Однозарядные ионы изотопов калия с относительными атомными массами 39 и 41 ускоряются разностью потенциалов U=300 В; затем они попадают в однородное магнитное поле, перпендикулярное направлению их дви­жения. Индукция магнитного поля B = 0,08 Тл. Найдите радиусы кривизны R₁ и R₂ траекторий этих ионов?

3.2.15. Скорость самолета с реактивным двигателем υ = 950 км/ч. Найдите э. д. с. индукции ε, возникающую на концах крыльев такого самолета, если вертикальная составляющая напряженности земного магнитного поля H_В = 39,8 А/м и размах крыльев самолета L = 12,5 м?

3.2.16. Ион, несущий один элементарный заряд, движется в одно­родном магнитном поле с индукцией В = 0,015 Тл по окружности радиусом R = 10 см. Определите импульс р иона?

3.2.17. Частица, несущая один элементарный Заряд, влетел в од­нородное магнитное поле с индукцией B = 0,5 Тл. Определите момент импульса М, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если ее траектория представляла дугу окружности радиусом R = 0,2 см?

3.2.18. Электрон движется в магнитном поле с индукцией B = 0,02 Тл по окружности радиусом R = 1 см. Определите кинетиче­скую энергию Т электрона (в джоулях и электронвольтах)?

3.2.19. Заряженная частица влетела перпендикулярно линиям ин­дукции в однородное магнитное поле, созданное в среде. В результа­те взаимодействия с веществом частица, находясь в поле, потеряла половину своей первоначальной энергии. Во сколько раз будут отличаться радиусы кривизны R траектории начала и конца пути?

3.2.20. Заряженная частица, двигаясь в магнитном поле по дуге окружности радиусом R₁ = 2 см, прошла через свинцовую пластину, расположенную на пути частицы. Вследствие потери энергии части­цей радиус кривизны траектории изменился и стал равным R₂ = 1 см. Определите относительное изменение энергии частицы?

3.2.21. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислите ее радиус R?

3.2.22. Заряженная частица, обладающая скоростью υ = 2·10⁶ м/с, влетела в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,52 Тл. Найдите отношение |Q|/m заряда частицы к ее массе, если частица в поле описала дугу окружности радиусом R = 4 см. По этому отношению определите, какая это частица?

3.2.23. Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов U = 2 кВ, движется в однородном магнитном поле с ин­дукцией В = 15,1 мТл по окружности радиусом R = 1 см. Определите отношение |Q|/m заряда частицы к ее массе и скорость υ частицы?

3.2.24. Заряженная частица с энергией Т = 1 кэВ движется в одно­родном магнитном поле по окружности радиусом R = 1 мм. Найдите силу F, действующую на частицу со стороны поля?

3.2.25. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл перпендикулярно линиям индукции. Определите силу F, действующую на электрон со стороны поля, если радиус R кривизны траектории равен 0,5 см?

3.2.26. Электрон движется в однородном магнитном поле напря­женностью H = 4 кА/м со скоростью υ = 10 Мм/с. Вектор скорости направлен перпендикулярно линиям напряженности. Найдите силу F, с которой поле действует на электрон, и радиус R окружности, по которой он движется?

3.2.27. Для определения отношения заряда электрона к его массе пучок электронов разгоняют между катодом и анодом электроннолучевой трубки. При наложении магнитного поля на трубку так, чтобы оно было направлено перпендикулярно пучку, светлое пятно на экране смещается на h = 5 см. Зная напряжение между анодом и катодом, равное U = 10 кВ, расстояние от анода до экрана L = 10 см и индукцию магнитно поля B=5·10^-4 Тл, определите это отношение?

3.2.28. Пучок однозарядных ионов изотопа кремния с массовым числом 28 влетает в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,18 Тл перпендикулярно к линиям индукции и движется по дуге окружности радиусом R = 21 см. Определите кинетическую энергию ионов, если их движение происходит в вакууме?

3.2.29. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 1 кВ, движется в однородном магнитном поле под углом α = 30^о к вектору B, модуль которого В = 29 мТл. Найдите шаг винтовой траектории электрона?

3.2.30. Электрон, влетающий в однородное магнитное поле по углом 60^о к линиям магнитной индукции, движется по спирали диаметром D = 10 см с периодом вращения T = 6·10^-5 с. Определите скорость электрона, магнитную индукцию поля и шаг спирали?

Задача 3. Закон электромагнитной индукции, магнитный поток, индуктивность, потокосцепление

3.3.1. В однородном магнитном поле напряженностью H = 79,6 кА/м помещена квадратная рамка, плоскость которой составляет с направлением магнитного поля угол α = 45°. Сторона рамки а = 4 см. Найдите магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

3.3.2. В магнитном поле, индукция которого B = 0,05 Тл, вращается стержень длиной l = 1 м. Ось вращения, проходящая через один из концов стержня, параллельна на­правлению магнитного поля. Найдите магнитный поток Ф, пересекаемый стержнем при каждом обороте?

3.3.3. Рамка, площадь которой S = 16 см², вращается в однородном магнитном поле с частотой n = 2 с^-1. Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна к направлению магнитного поля. Напряженность магнит­ного поля H = 79,6 кА/м. Найдите зависимость магнитного потока Ф, пронизывающего рамку, от времени t и наиболь­шее значение Ф_max магнитного потока?

3.3.4. Сколько ампер-витков потребуется для создания магнитного потока Ф = 0,42 мВб в соленоиде с железным сердечником длиной l = 120 см и площадью поперечного сечения S = 3 см²?

3.3.5. Длина железного сердечника тороида l₁ = 1 м, длина воздушного зазора l₂ = 1 см. Площадь поперечного сечения сердечника S = 25 см². Сколько ампер-витков по­требуется для создания магнитного потока Ф = 1,4 мВб, если магнитная проницаемость материала сердечника µ = 800? (Зависимость В от H для железа неизвестна)

3.3.6. Длина железного сердечника тороида l₁ = 1 м, длина воздушного зазора l₂ = 3 мм. Число витков в обмотке тороида N = 2000. Найдите напряженность магнитного поля Н в воздушном зазоре при токе I = 1 А в обмотке тороида?

3.3.7. Магнитный поток сквозь соленоид (без сердеч­ника) Ф = 5 мкВб. Найдите магнитный момент р соленоида, если его длина l = 25 см?

3.3.8. Замкнутый железный сердечник длиной l = 50 см имеет обмотку из N = 1000 витков. По обмотке течет ток I₁ = 1 А. Какой ток I₂ надо пустить через обмотку, чтобы при удалении сердечника индукция осталась прежней?

3.3.9. Железный сердечник длиной l₁ = 50,2 см с воздушным зазором длиной l₂ = 0,1 см имеет обмотку из N = 20 витков. Какой ток I должен протекать по этой об­мотке, чтобы в зазоре получить индукцию В = 1,2 Тл?

3.3.10. Из проволоки длиной l = 20 см сделаны квадратный и круговой контуры. Найдите вращающие моменты сил M₁ и М₂, действующие на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,1 Тл. По контурам течет ток I = 2 А? Плоскость каждого контура cоставляет угол α = 45° с направлением поля.

3.3.11. Требуется получить напряженность магнитного поля H = 1 кА/м в соленоиде длиной I = 20 см и диаметром D = 5 см. Найдите число ампер-витков N, необходимое для этого соленоида, и разность потенциалов U, которую надо приложить к концам обмотки из медной проволоки диаметром d = 0,5 мм? Считать поле соленоида - однородным.

3.3.12. Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так, что плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного поля. Напряженность магнит­ного поля H = 150 кА/м. По контуру течет ток I = 2 А. Радиус контура R = 2 см. Какую работу А надо совершить, чтобы повернуть контур на угол φ = 90° вокруг оси, сов­падающей с диаметром контура?

3.3.13. Однородный медный диск А радиусом R = 5 см помещен в магнитное поле с индукцией B = 0,2 Тл так, что плоскость диска перпендикулярна к направлению магнит­ного поля (см. рис. 3.4). Ток I = 5 А проходит по радиусу диска ab (а и b — скользящие контакты). Диск вращается с частотой n = 3 с^-1. Найдите: а) мощность Р такого двига­теля; б) направление вращения диска при условии, что магнитное поле направлено от чер­тежа к нам; в) вращающий момент М, действующий на диск?

Рис. 3.4

3.3.14. Однородный медный диск массой m = 0,35 кг помещен в маг­нитное поле с индукцией В = 24 мТл так, что плоскость диска пер­пендикулярна к направлению маг­нитного поля (см. рис. 3.4). При замыка­нии цепи aba диск начинает вращаться и через время t = 30 с после начала вращения достигает частоты вращения n = 5 с^-1. Найдите ток I в цепи?

3.3.15. Найдите магнитный поток Ф, пересекаемый радиу­сом ab диска А (см. рис. 3.4) за время t = 1 мин вращения? Радиус диска R = 10 см. Индукция магнитного поля В = 0,1 Тл. Диск вращается с частотой n = 5,3 с^-1.

3.3.16. В магнитном поле, индукция которого B = 0,05 Тл, вращается стержень длиной l = 1 м с угловой скоростью ω = 20 рад/с. Ось вращения проходит через конец стержня и параллельна магнитному полю. Найдите э. д. с. индукции ε, возникающую на концах стержня?

3.3.17. Круговой проволочный виток площадью S = 0,01 м² находится в однородном магнитном поле, индукция которого В = 1 Тл. Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найдите среднюю э. д. с. ин­дукции ε_ср возникающую в витке при выключении поля в течение времени t = 10 мс?

3.3.18. В однородном магнитном поле, индукция которого B = 0,8 Тл, равномерно вращается рамка с угловой скоростью ω = 15 рад/с. Площадь рамки S = 150 см². Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет угол α = 30° с направлением магнитного поля. Найдите максимальную э. д. с. индукции ε_max во вращающейся рамке?

3.3.19. Горизонтальный стержень длиной l = 1 м вра­щается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Ось вращения параллельна магнитному полю, индукция которого В = 50 мкТл. При какой частоте вращения n стержня разность потенциалов на концах это­го стержня U = 1 мВ?

3.3.20. На соленоид длиной l = 20 см и площадью по­перечного сечения S = 30 см² надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет N = 320 витков, и по нему идет ток I = 3 А. Какая средняя э. д. с. ε_ср индуцируется в наде­том на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается в течение времени t = 1 мс?

3.3.21. На соленоид длиной l = 144 см и диаметром D = 5 см надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет N = 2000 витков, и по ней течет ток I = 2 А. Соленоид имеет железный сердечник. Какая средняя э.д.с. ε_ср индуци­руется в надетом на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается в течение времени t = 2 мс?

3.3.22. Катушка длиной l = 20 см имеет N = 400 витков. Площадь поперечного сечения катушки S = 9 см². Найдите индуктивность L₁ катушки. Какова будет индуктивность L₂ катушки, если внутрь катушки введен железный сердечник? Магнитная проницаемость материала сердечника µ = 400.

3.3.23. Обмотка соленоида состоит из N витков медной проволоки, поперечное сечение которой S = 1 мм². Длина соленоида l = 25 см; его сопротивление R = 0,2 Ом. Найдите индуктивность L соленоида?

3.3.24. Катушка длиной l = 20 см и диаметром D = 3 см имеет N = 400 витков. По катушке идет ток I = 2 А. Найдите индуктивность L катушки и магнитный поток Ф, пронизы­вающий площадь ее поперечного сечения?

3.3.25. Катушка с железным сердечником имеет пло­щадь поперечного сечения S = 20 см² и число витков N = 500. Индуктивность катушки с сердечником L = 0,28 Гн при токе через обмотку I = 5 А. Найдите магнитную прони­цаемость µ железного сердечника?

3.3.26. Соленоид длиной l = 50 см и площадью попе­речного сечения S = 2 см² имеет индуктивность L = 0,2 мкГн. При каком токе I объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида W_a = 1 мДж/м³?

3.3.27. Площадь поперечного сечения соленоида с же­лезным сердечником S = 10 см²; длина соленоида l = 1 м. Найдите магнитную проницаемость µ материала сердечника, если магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение соленоида, Ф = 1,4 мВб. Какому току I, текущему через соленоид, соответствует этот магнитный поток, если известно, что индуктивность соленоида при этих условиях L = 0,44 Гн?

3.3.28. Круговой контур радиусом r = 2 см помещен в однородное магнитное поле, индукция которого B = 0,2 Тл. Плоскость контура перпендикулярна к направлению маг­нитного поля. Сопротивление контура R = 1 Ом. Какое ко­личество электричества q пройдет через катушку при по­вороте ее на угол α = 90°?

3.3.29. В магнитном поле, индукция которого В = 0,1 Тл, помещена квадратная рамка из медной проволоки. Площадь поперечного сечения проволоки s = 1 мм², пло­щадь рамки S=25 см². Нормаль к плоскости рамки парал­лельна магнитному полю. Какое количество электричест­ва q пройдет по контуру рамки при исчезновении магнит­ного поля?

3.3.30. В магнитном поле, индукция которого B = 0,05 Тл, помещена катушка, состоящая из N = 200 витков проволоки. Сопротивление катушки R = 40 Ом; площадь поперечного сечения S = 12 см². Катушка помещена так, что ее ось составляет угол α = 60⁰ с направлением магнит­ного поля. Какое количество электричества q пройдет по катушке при исчезновении магнитного поля?

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. А.Г. Чертов, А.А. Воробьёв. Задачник по физике. М.: Высшая школа, 1981 г.

2. В.С. Волькенштейн. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 1965 г.

3. Т.И. Трофимова. Сборник задач по курсу физики. М.: Высшая школа, 1995 г.

4. И.Е. Иродов. Задачи по общей физике. М.: Наука, 1979 г.

5. Ю.В. Гофман. Законы, формулы, задачи физики. К.: Наукова думка, 1977 г.

ПРИЛОЖЕНИЕ

НЕКОТОРЫЕ СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ

А – ампер В – вольт Вб – вебер Вт – ватт Гн – генри Гц - герц

Дж – джоуль К – кельвин Кл – кулон м – метр Н – ньютон рад – радиан

с – секунда См – сименс Тл – тесла Ф – фарад Э - эрстед эВ – электронвольт

Скорость света в вакууме Гравитационная постоянная Ускорение свободного падения Постоянная Авогадро Элементарный заряд Масса электрона Удельный заряд электрона Масса протона Отношение массы протона к массе электрона Электрическая постоянная Магнитная постоянная Связь между скоростью света и постоянными εо и μо Постоянная Планка Постоянная Фарадея Средняя напряженность магнитного поля Земли

с = 2,998·108 м/с γ = 6,67·10-11 м3/(кг·с2) g = 9,807 м/с2 Na = 6,022·1023 моль-1 е = 1,602·10-19 Кл me = 9,1·10-31 кг e/me = 1,76·1011 Кл/кг mр = 1,672·10-27 кг 1836,15152(70) εо = 8,85·10-12 Ф/м μо = 1,257·10-6 Гн/м μо/4π = 10-7 Гн/м с = 1/( εо· μо)0,5 6.626176·10-34 Дж· с 96484.56 Кл/моль 0,5 Э 40 А/м