2. Взаимное расположение плоскости и шара

Е сли расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса этой сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса этой сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность. В этом случае плоскость называется секущей по отношению к сфере. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу этой сферы, то сфера и плоскость имеют ровно одну общую точку.

3. Сечения

Сечения шара плоскостью есть круг. Центр этого шара – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом.

4. Касательная плоскость к сфере

П лоскость имеющая со сферой только одну общую току называется касательной плоскостью к сфере, общая точка касания.

Теорема: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Доказательство:

Рассмотрим плоскость α, касающуюся сферы с центром О в точке А (рис.). Докажем, что радиус ОА перпендикулярен к плоскости α.

Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости α, и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость α - касательная, т.е. сфера и плоскость α имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказы­вает, что радиус ОА перпендикулярен к плоскости α. Теорема доказана.

 

Теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это и означает, что данная плоскость является касательной.

5. Вопросы и задания

Уровень А: Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением (x-2)²+(y + 3)²+z² = 25

Ответ: центр – (2, -3, 0), r=5

Уровень В: Радиус сферы равен 13 см. Сфера пересечена плоскостью, которая находится на расстоянии 12 см от центра сферы.

Вычисли радиус окружности сечения.

 Ответ: 5 см.

Уровень С:

Дана сфера и её касательная плоскость.

В плоскости находится точка; через неё и центр сферы проведена прямая.

Эта прямая образует с касательной плоскостью угол 30°. Радиус данной сферы — 10.

Найти: расстояние данной точки до поверхности сферы.

Ответ:

Тема 7.5 измерения в геометрии.

24. 7.5.1 Объем тела. Объем прямоугольного параллелепипеда

1. Понятие объема и его измерение

2. Основные свойства объемов

3. Формула объема прямоугольного параллелепипеда

4. Формула объема куба.

5. Вопросы и задания.

1. Понятие объема и его измерение

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Эту характеристику можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов.

Единицей измерения объемов будем считать куб, ребро которого равно единице измерения длины.

В СИ основная единица измерения объёма — кубический метр. Кубический метр — куб, ребро которого равно 1м.  Кубический метр обозначают м³.

 Применяются также производные от основной единицы измерения: кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр (литр), кубический километр. Встречаются и внесистемные единицы измерения объёма жидкостей: баррель, пинта, кварта, кубический дюйм.

2. Основные свойства объемов

1. Объем тела есть неотрицательное число.

2. Равные геометрические тела имеют равные объемы.

3. Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих.

3. Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

  

V=abh

  

1. Следствие Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

V=Sосн*h

  

2. Следствие Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

4. Формула объема куба

V=a³

5. Вопросы и задания

Уровень А:

Вычисли объём прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны e и n, а высота равна h, если e= 2 см; n= 6 см; h= 2 см.

 

Ответ: V= 24 см³

Уровень В:

Площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда равна 100 см²;

стороны основания равны 6 см и 8 см. Вычисли объем.

Ответ: V=480 см³

 

Уровень С:

На математическом конкурсе ученикам было дано задание изготовить коробочку, высота которой равна 5 см, а периметр основания равен 52 см. Победит та команда, у которой объём коробочки будет наибольшим.

Какими должны быть размеры коробочки, чтобы команда победила?

Каким должен быть наибольший объём коробочки?

Ответ: Размеры коробки должны быть      

Максимальный объём должен быть  см³

25. 7.5.2 Объем прямой призмы и цилиндра

1. Формула объема прямой призмы

2.Формула объема прямого цилиндра

3. Вопросы и задания

 

1. Формула объема прямой призмы

Объём прямой призмы находится по формуле:

V=S_оснH

2. Формула объема прямого цилиндра

 

Для прямоугольного параллелепипеда можно использовать формулу V=abc , где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

 

Для куба используется формула V=a³, где a — ребро куба.

 

Основанием призмы может быть любой n-угольник, поэтому важно знать формулы вычисления их площадей.

 

 

 

  

Объём цилиндра V_{цилиндра}=πR²H

3. Вопросы и задания

Уровень А:

Квадрат вращается вокруг своей стороны, которая равна 8 см. Вычисли объём полученного тела вращения.  

Ответ: V= 51π см³

Уровень В: Цилиндр описан вокруг куба. Ребро куба равно 10 см. Вычисли объём цилиндра.

Ответ: V= 1000π см³

Уровень С: Вычислить максимальный объём цилиндра, полная поверхность которого равна 7,4 см². Значение числа π в вычислениях округлить до 3. Результат округлите до десятых сантиметра.

  

Ответ: Максимальный объём цилиндра равен см³.