6. Вопросы и задания

Уровень А: Дано, что высота конуса равна 12 ед. изм., радиус основания конуса — 16 ед. изм.

Определи площадь боковой поверхности конуса.

 Ответ: S_бок.=  π*36√5 кв. ед. изм.

Уровень В:

Крыша башни замка имеет форму конуса. Высота крыши равна 10 м, а диаметр башни равен 48 м.

 

 Вычисли площадь поверхности крыши. π=3.

 

Ответ: 1872 м².

Уровень С:

Конус пересечён плоскостью, которая перпендикулярна высоте конуса и делит её на отрезки в отношении 1:5, считая от вершины.

Площадь сечения равна 3π.

Вычисли площадь основания конуса.

 

 

Ответ: π.

22. 7.4.3 Усечённый конус

1. Понятие усеченного конуса

2. Осевые сечения

3. Развертка усеченного конуса

4. Площадь поверхности усеченного конуса

5. Вопросы и задания.

1. Понятие усеченного конуса

Определение:

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.

Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.

 

 

OO₁ — ось конуса и высота конуса.

AA₁ — образующая конуса.

Круги с центрами O и O₁ — основания усечённого конуса.

AO и A₁O₁ — радиусы оснований конуса.

2. Осевые сечения

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось OO1 конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.

3. Развертка усеченного конуса

4. Площадь поверхности усеченного конуса

Боковая площадь поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

Sбок=π (r1+ r2) l

Площадь полной поверхности усеченного конуса:

S_полн=S_бок+S_{бол.осн}+S_{мал.осн}

5. Вопросы и задания

Уровень А:

Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.

Ответ: 5 см

Уровень В:

Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, а образующая равна 10 см. Найдите: а) высоту усеченного конуса; б) площадь осевого сечения.

Ответ: 8 см, 88 см²

Уровень С:

Радиусы оснований усеченного конуса равны R и r, где а образующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь осевого сечения.

Осевое сечение усеченного конуса — равнобедренная трапеция с основаниями 2r и 2R. Вычислим высоту трапеции ОО1=Н. АК=R — r, ΔАВК — прямоугольный равнобедренный, ВК=О1О=Н=R — r.

23. 7.4.4 Шар и сфера

1. Понятие шара и сферы

2. Взаимное расположение плоскости и шара

3. Сечения

4. Касательная плоскость к сфере

5. Вопросы и задания

1. Понятие шара и сферы

Определение:

Сферическая поверхность — это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) в пространстве, равноудалённых от одной данной точки, которая называется центром сферической поверхности.

В рисунке все точки равноудалены от точки C, радиус CA соединяет центр с точкой на сфере.

 

 Все расстояния от центра до любой точки на сфере одинаковы и равны радиусу. Используя формулу расстояния между точками с данными координатами, можно составить уравнение сферы:

 

AC=√(x−x₀)²+(y−y₀)²+(z−z₀)²=R

AC²=(x−x₀)²+(y−y₀)²+(z−z₀)2=R²

 (x−x₀)²+(y−y₀)²+(z−z₀)²=R² 

Шар — это тело, ограниченное сферической поверхностью.

Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара — круги. Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара.

Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов.

Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов.

Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Всякое сечение шара плоскостью есть круг (или точка, если плоскость касается шара).

При решении заданий удобнее вместо шара чертить один из больших кругов, а плоскость сечения заменить хордой этого круга.

 

  Круговое сечение шара делит его на два шаровых сегмента, а сферу — на две сегментные поверхности.

 Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и лежащим между ними сферическим поясом (или зоной), называется шаровой зоной.

Радиусы, проведённые от центра шара к точкам сферы, принадлежащим одной сегментной поверхности или сферическому поясу, образуют шаровой сектор,  он может быть ограничен сферическим сегментом или зоной и одной или двумя коническими поверхностями.

Высота шаровой или сферической зоны — это расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента или сегментной поверхности определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей плоскости, касательной к этому сегменту. Высоту шарового сектора определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности или сферического пояса.

 

 OO₁=d — расстояние между центром шара и плоскостью сечения,

 

OA=R — радиус шара,

 

O ₁A=r — радиус окружности сечения.

 

В вычислениях используется теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике AOO₁.