3. Вопросы и задания

Уровень A:

Перечислить названия пяти правильных многогранников. Сколько граней имеет каждый из них? У кого из них грани – правильные треугольники? Начертите изображение правильного тетраэдра.

Т етраэдр (4 грани), куб (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней), икосаэдр (20 граней).

Тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

Уровень B:

Диагональ куба равна d. Вычислить площадь полной поверхности куба.

S_полн=6а²

d²=3a²

a²=d²/3

S_полн=6d²/3=2d²

Уровень С:

Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.

Обозначим центры граней куба С₁, С₂, С₃, С₄, С₅, С₆.

Каждая грань куба граничит с четырьмя другими, так что каждая из точек С будет соединена с четырьмя другими. Так как расстояния между центрами граней, имеющих общее ребро, в кубе одинаковы, то получим фигуру, имеющую 6 вершин, в каждой из которых сходится по n ребер, и все грани представляют собой правильные треугольники.

Значит, эта фигура — октаэдр.

Наоборот:

Обозначим центры граней октаэдра С₁, С₂, С₃, С₄, С₅, С₆, C₇, С₈.

Каждая грань октаэдра граничит с тремя другими, так что центр каждой грани будет соединен ребрами с тремя соседними

центрами. Так как расстояния между центрами граней, имеющих общее ребро, одинаковы, то получится фигура, имеющая восемь вершин; из каждой вершины выходят по три одинаковых ребра и все грани представляют собой квадраты.

Значит, эта фигура — куб.

Что и требовалось доказать.

Тема 7.4 тела и поверхности вращения.

20. 7.4.1 Цилиндр

1. Понятие цилиндра

2. Осевые сечения и сечения, параллельные основаниям

3. Развертка цилиндра

4. Площадь поверхности цилиндра

5. Вопросы и задания

1. Понятие цилиндра

Определение:

Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

 Прямоугольник AOO₁A₁ вращается вокруг стороны OO₁. OO₁ — ось симметрии цилиндра и высота цилиндра. AA₁ — образующая цилиндра, длина которой равна длине высоты цилиндра. AO — радиус цилиндра.

2. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию

 

Полученная цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги — основаниями цилиндра.

 

Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра. Это сечение является прямоугольником.

 

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра (т.е. перпендикулярной основанию), также получается прямоугольник.

 

На рисунке изображён цилиндр, пересечённый плоскостью, которая параллельна оси цилиндра OO₁.

ABB₁A₁ — прямоугольник. OA=AB=R — радиусы.

OC — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения. Дуга AB равна центральному углу AOB.

 

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной основанию, в сечении получаем круг, равный основаниям цилиндра.

 

Если представить, что боковая цилиндрическая поверхность разрезана по образующей AA₁ и развёрнута, получаем прямоугольник.