Тема 7.2 прямые и плоскости в пространстве
1. 7.2.1 Начальные понятия стереометрии
1. Основные понятия стереометрии
2. Аксиомы стереометрии
3. Следствия из аксиом
4. Вопросы и задания
1. Основные понятия стереометрии
Планиметрия и стереометрия.
Планиметрия изучает фигуры и их свойства на плоскости, всё, что можно нарисовать или начертить на листе бумаги.
Основные объекты планиметрии - это точка и прямая. Стереометрия изучает фигуры и их свойства в пространстве, всё, что можно склеить из бумаги, сколотить из досок, построить из кирпичей и т.п.
Основными объектами стереометрии являются точки, прямые и плоскости.
Плоскость бесконечна и делит пространство на две части.
Точки обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C, D, E, K,… Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c, d, e, k,… Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ и т. д.
На иллюстрациях наглядно показаны связь и различие плоских и пространственных фигур.
2. Аксиомы стереометрии
В основе каждого курса геометрии лежат аксиомы – утверждения, которые принимаются без доказательств. С помощью этих утверждений определяются остальные объекты и их свойства.
Основные понятия стереометрии - точка, прямая и плоскость.
В Евклидовой геометрии основные свойства точки, прямой и плоскости, которые относятся к их взаимному расположению, выражены в 20 аксиомах. Сформулируем некоторые из них.
|
Через любые две точки можно провести только одну прямую.
|
|
Через любые три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость. |
|
Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечное множество плоскостей.
|
|
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат плоскости.
|
|
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
|
3 Следствия из аксиом
Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну.
Доказательство: 1) Рассмотрим прямую a и точку A, которая не находится на этой прямой. 2) На прямой a выберем точки B и C. 3) Так как все 3 точки не находятся на одной прямой, из второй аксиомы следует, что через точки A, B, C и можно провести одну единственную плоскость α. 4) Точки прямой a, B и C, лежат на плоскости α, поэтому из третьей аксиомы следует, что плоскость проходит через прямую a и, конечно, через точку A.
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну.
Доказательство: 1) Рассмотрим прямые a и b, которые пересекаются в точке C. 2) Выберем точку A на прямой a и точку B на прямой b так, чтобы эти точки не совпадали с точкой C. 3) Из второй аксиомы следует, что через точки A, B и C можно провести одну единственную плоскость α. В таком случае прямые a и b находятся на плоскости α (судя по третьей аксиоме).
Пример:
Даны пересекающиеся отрезки AC и BD. Доказать, что все отрезки AB, BC, CD, DA находятся на одной плоскости.
Решение:
1) Из второй теоремы следует, что через AC и BD можно провести только одну плоскость, которую обозначим α. Это значит, что точки A,B,C и D принадлежат плоскости α. 2) Из третьей аксиомы следует, что все точки прямых AB, BC, CD и DA принадлежат плоскости. Поэтому все соответствующие отрезки лежат на плоскости α.