19. 7.3.10 Правильный многогранник

1. Понятие правильного многогранника

2. Теорема Эйлера и правильные многогранники

3. Тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр, икосаэдр

4. Вопросы и задания

1. Понятие правильного многогранника

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Выпуклый многогранник называется правильным, если:

1. Все его грани равные правильные многоугольники;

2. В каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.

Все рёбра правильного многогранника равны, а также равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

 

Возникают вопросы:

1. Какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника?

2. Сколько граней может иметь правильный многогранник?

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные многоугольники, если число их сторон 6 или больше, то есть правильные n-угольники, если n≥6.

1. У правильного n-угольника, если n≥6, углы не меньше 120°.

2. В каждой вершине многогранника должно быть не меньше трёх углов.

3. Даже при трёх углах сумма всех углов уже достигает 360°.

4. Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.

 

Следовательно, не существует правильного многогранника, гранями которого являлись бы правильные n-угольники, если n≥6.

Только правильные треугольники, четырехугольники (квадраты) и пятиугольники могут быть гранями правильного многогранника.

 

Существуют ли правильные многогранники с такими гранями и сколько граней они имеют? Очевидно, меньшее возможное число граней — четыре.

2. Теорема Эйлера и правильные многогранники

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на 2 больше числа рёбер.

С помощью теоремы Эйлера мы можем получить ответ на вопрос:

какие правильные многогранники могут существовать?

 

1. Пусть количество рёбер правильного многогранника, выходящих из одной вершины, равно m, а гранями являются правильные n-угольники.

 

2. Выразим входящие в формулу Эйлера величины В (вершины) и Г (грани) через:

Р (ребра), m, n, где n и m — целые числа и m≥3, n=3; 4 или 5.

3. Так как каждое ребро соединяет две вершины, и в каждой вершине сходятся m рёбер, то 2Р=Вm.

Тогда В=2Рm

 

4. Так как каждое ребро многогранника содержится в двух гранях, то Гn=2Р.

Тогда Г=2Рn

 

5. Подставляя полученные выражения для Г и В в формулу Эйлера Г+В−Р=2, получаем

2Рm+2Рn−Р=2

 

6. Поделив обе части равенства на 2Р, получим

1m+1n−12=1Р

 

7. Решим это уравнение при полученном в предыдущем доказательстве значении n=3 и найдём допустимые значения m.

 1m+13−12=1Р 

 

1m−16=1Р

По смыслу Р>0, значит 3≤m≤5.

Таким образом, теорема Эйлера разрешает существование следующих правильных многогранников: 1. m=3, n=3, P=6, Г=4 — тетраэдр 2. m=3, n=4, P=12, Г=6 — куб

3. m=3, n=5, P=30, Г=12 — додекаэдр 4. m=4, n=3, P=12, Г=8 — октаэдр 5. m=5, n=3, P=30, Г=20 — икосаэдр

3. Тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр, икосаэдр

Доказано существование правильных многогранников (таблицу можно дополнить):

тетраэдр (4 грани, 6 рёбер, 4 вершины)	Куб (6 граней, 12 рёбер, 8 вершин)	октаэдр (8 граней, 12 рёбер, 6 вершин)
додекаэдр (12 граней, 30 рёбер, 20 вершин)	икосаэдр (20 граней, 30 рёбер, 12 вершин)