4. Вопросы и задания

Уровень А: Ребро правильного тетраэдра равно 28 м. Вычисли площадь полной поверхности.

Ответ: 784 м²

Sграни=1/2*a*b*sinC

Уровень В:

Основанием пирамиды является квадрат со стороной 6 см. Одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и равно 8 см.

Вычисли площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна  см².

Уровень С:

Дана пирамида с апофемой a=4 см и гранью основания b=2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет:

S=1/2ab Подставляем значения в формулу:

S=1/2*4*2=4cм² Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:

S=3S_гр

S=3*4=12 cм²

Ответ: 12 см²

17. 7.3.8 Усеченная пирамида

1. Понятие усеченной пирамиды

2. Правильная усеченная пирамида

3. Построение сечений усеченной пирамиды

4. Вопросы и задания

1. Понятие усеченной пирамиды

Определение:

М ногогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию, называется усеченной пирамидой.

Многоугольники А₁А₂А₃А₄А₅ и В₁В₂В₃В₄В₅ – нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды

Отрезки А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃… - боковые ребра усечённой пирамиды

Четырёхугольники А₁В₁В₂А₂, А₂В₂В₃А₃ … - боковые грани усечённой пирамиды. Можно доказать, что все они являются трапециями.

Отрезок СН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды.

2. Правильная усеченная пирамида

У сеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Основания - правильные многоугольники.

Боковые грани – равные равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций называются апофемами.

3. Построение сечений усеченной пирамиды

4. Вопросы и задания

Уровень А:

Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 см и 2 см, а боковое ребро равно 2 см. Найдите апофему пирамиды.

Решение:

AB=AH+AC+CB }

CB=AH } AB=2AH+MP

HC=MP }

Т.о. 2AH=2, AH=1

▲AMH – прямоугольный, ∠AHM=90º

AH=√3 по теореме Пифагора

Ответ: √3

Уровень В: Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Проведем высоту A2H и апофему А2М усеченной пирамиды (рис. 176).

Т огда

A₁M=(A₁C₁-A₂C₂)/2=1 дм

A₂M=√(A₁A₂²-A₁M₂)=√3 дм

Ясно, что ∠HA₁M=30º, так как ∠B₁A₁C₁=60º. Поэтому HM=A₂M*tg30º=1*√3/3=√3/3 дм

Тогда A₁H=√(A₂M²-MH²)*A₂H=√(3-1/3)=2√2/3=3√6/3 дм

Ответ: 2√6/3 дм и 3 дм

Уровень С:

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7:3. Найдите стороны оснований пирамиды.

Решение:

Проведем высоту А₁Н и апофемы A₁M и A₁K граней AA₁D₁D и AA₁B₁B. Тогда AKHM — квадрат.

HM=√65²-63²=√256=16 см

Пусть A₁D₁= 3x, тогда AD=AB=7х. Таким образом, АК=(AB-A₁B₁)/2=2х; х=8 см. Таким образом, AD=56 см, A₁D₁=24 см.

Ответ: 24 см

18. 7.3.9 Площадь поверхности усеченной пирамиды

1. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды

2. Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

3. Вопросы и задания

1. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна полупроизедению суммы периметров ее оснований и апофемы.

S_бок=1/2(P₁+P₂)l

S_бок=(|S₁-S₂|)/cosφ, где S₁, S₂ – площади оснований, а φ – двугранный угол при основании пирамиды.

2. Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

S_полн=S₁+S₂+S_бок

3. Вопросы и задания

Уровень А:

Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 см и 2 см, а боковое ребро равно 2 см. Найдите площадь полной поверхности.

Решение:

AB=AH+AC+CB }

CB=AH } AB=2AH+MP

HC=MP }

Т.о. 2AH=2, AH=1

▲AMH – прямоугольный, ∠AHM=90º

AH=√3 по теореме Пифагора

S_полн=S_бок+S_{верх.осн}+S_{ниж.осн}

S_бок=(3*2+3*4)/2*√3=9√3

S_осн=(a²√3)/4 (т.к. в основании прав. ∆)

S_{верх.осн}=√3

S_{нижн.осн}=4√3

S_полн=9√3+4√3+√3=14√3 см²

Ответ: √3 см, 14√3 см²

Уровень В: В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1:2?

Решение:

Рассмотрим АВСА₁В₁С₁ – усеченную пирамиду, изображенную на рис. 2.

Так как в основаниях стороны относятся как 1:2, то площади оснований относятся как 1:4 (треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁).

Тогда объем усеченной пирамиды равен:

V=1/3h*(S₁+S₂+√(S₁*S₂))=1/3h*(4S₂+S₂+2S₂)= 7/3h*S₂, где S₂ – площадь верхнего основания, h – высота.

Но объем призмы АDEA₁B₁C₁ составляет V₁=S2*h и, значит,

V₂=V–V₁=7/3*h*S₂-h*S₂=4/3*h*S₂.

Итак, V₂:V₁=3:4.

Ответ: 3:4

Уровень С:

В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.

Решение:

Объем усеченной пирамиды может быть найден по формуле

V=1/3H*(S₁+S₂+√(S₁*S₂)), где S₁ – площадь одного из оснований, можно найти по формуле Герона

S=√(p(p–a)(p–b)(p–c))

В задаче даны длины трех сторон треугольника.

Имеем: p₁=(27+29+52)/2=54.

S₁=√(54(54–27)(54–29)(54–52))=√(54*27*25*2)=270.

Пирамида усеченная, а значит, в основаниях лежат подобные многоугольники. В нашем случае треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁. Кроме того, коэффициент подобия можно найти как отношение периметров рассматриваемых треугольников, а отношение их площадей будет равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, имеем:

S₁/S₂ = (P₁)²/(P₂)² = 108²/72²=9/4. Отсюда S₂=4S₁/9=4*270/9=120.

Итак, V=1/3*10(270+120+√(270*120))=1900.

Ответ: 1900