15. 7.3.6 Пирамида
1. Понятие пирамиды, элементы пирамиды
2. Правильная пирамида
3. Построение сечений пирамиды
4. Вопросы и задания
1. Понятие пирамиды, элементы пирамиды.
Определение:
Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.
По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д.
Треугольная Четырёхугольная Пятиугольная Шестиугольная
Многоугольник АВСDEF - основание пирамиды Треугольники АВР, ВСР,…, FAP – боковые грани Точка Р - вершина пирамиды Отрезки РА, РВ,…, РF – боковые ребра Определение: Перпендикуляр РО, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Апофема AH — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон) вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания; диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания
|
|
2. Правильная пирамида
Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина, которой проектируется в центр основания, называется правильной пирамидой.
Правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, называется тетраэдром.
Все грани тетраэдра — равные равносторонние треугольники.
Правильная треугольная пирамида
Основание правильной треугольной пирамиды — равносторонний треугольник.
Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения медиан.
Запомни:
BN:NK=2:1
KD — апофема,
∠NKD и ∠NLD — двугранные углы при основании пирамиды,
∠DCN и ∠DBN — углы между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
ML – апофема
Правильная четырёхугольная пирамида
Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат.
Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).
ML — апофема,
∠MLO — двугранный угол при основании пирамиды,
∠MCO — угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
Правильная шестиугольная пирамида
Основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник.
Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (шестиугольника).
SE=h — апофема,
∠OES — двугранный угол при основании пирамиды.
3. Построение сечений пирамиды
4. Вопросы и задания
Уровень А: Диагональ AC основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.
Диагональ АС=6 см. =>
АО=ОС=OB=3 см.
По Теореме Пифагора:
SB2=SO2+OB2
SB2=16+9=25
SB=5 см
Ответ: 5 см
Уровень В: Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 и 6. Ее объем равен 48. Найдите высоту этой пирамиды.
Объем пирамиды вычисляется по формуле V=1/3Sоснh. При этом Sосн=4*6=24.
Тогда 48=(24*h)/3
h=6
Ответ: 6.
Уровень С: Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 8 см и острый угол равен 30°.
Все углы, которые образуют боковые грани с плоскостью основания, равны 60°.
Вычисли высоту и площадь боковой поверхности пирамиды.
Высота пирамиды равна см.
16. 7.3.7 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ
1. Площадь боковой поверхности пирамиды
2. Площадь полной поверхности пирамиды
3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
4. Вопросы и задания
1. Площадь боковой поверхности пирамиды
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней, т.е.
Sбок=SРАВ+SРВС+…+SPFA
2. Площадь полной поверхности пирамиды
Sпол=Sбок+Sосн
3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
Для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды существуют две формулы:
Sбок=12Pосн*h и Sбок=Sосн*cosϕ, где P — периметр основания, h — апофема, ϕ — двугранный угол при основании.
Объём пирамиды V=13Sосн*H, где H — высота пирамиды.
Обрати внимание!
Не путай h — апофему с H — высотой пирамиды!
Если боковые грани пирамиды с её основанием образуют равные двугранные углы, то все высоты боковых граней пирамиды равны (у правильной пирамиды это апофемы), и вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания.
Чтобы легче это запомнить, можно представить, что смотрите на пирамиду сверху. Проекции высот боковых граней пирамиды равны, через их концы можно вписать окружность.
Для таких пирамид при вычислении площади боковой поверхности применяются формулы, которые используются для правильной пирамиды.
Sбок=12Pосн*h и Sбок=Sосн*cosϕ
где h — высота боковой грани, ϕ — двугранный угол
У пирамиды могут быть равные двугранные углы при основании тогда, когда в многоугольник основания можно вписать окружность.
Обрати внимание!
Отмечая радиус r на рисунке, нужно быть очень внимательным! Радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне.
Например, в произвольном треугольнике он не находится на биссектрисе и в ромбе не параллелен стороне.
Главные зависимости для многоугольников, в которые можно вписать окружность
Многоугольник |
Центр вписанной окр. |
Формулы |
любой треугольник
|
точка пересечения биссектрис |
r=SΔ/p, где p — полупериметр |
Ромб
|
точка пересечения диагоналей |
r=Sромба/p r — половина высоты ромба |