3. Свойства прямоугольного параллелепипеда

• В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

• Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

• Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину).

• Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

4. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда

Прямая призма, основанием которой является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

Длины трёх ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Например, три измерения — это длины трех ребер DA, DC, DD₁.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: 

D²=a²+b²+c²

где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда, т.е., его длина, ширина и высота.

На рисунке: DB₁²=DA₂+DC₂+DD₁²

Обрати внимание!

У прямоугольного параллелепипеда все диагонали равны:

DB₁=CA₁=AC₁=BD₁

Пример:

Формула диагоналей куба

 Так как у куба все измерения равны, обозначаем их за a, тогда

D²=a²+a²+a²=3a².

Упрощаем и получаем формулу диагонали куба:

D=a√3

 

5. Вопросы и задания

Уровень А:

Ребро куба равно 3 м. Вычисли угол, который образует диагональ куба с плоскостью основания.

 

Выбери правильный ответ:

1. 30º

2. 60º

3. arcsin6√3

4. arccos6√3

5. 45º

Уровень В:

Дан прямоугольный параллелепипед  ABCDA₁B₁C₁D₁. Углом между диагональю B₁D прямоугольного параллелепипеда  и плоскостью  DD₁C₁C является угол:

1. ∠B₁DB

2. ∠B₁DC₁

3. ∠B₁DD₁

4. ∠B₁DC

Уровень С:

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна а и образует с плоскостью боковой грани угол 30 градусов. Найти: а) сторону основания призмы. Б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 дм и 12 дм.  Боковое ребро равно 2 дм. Вычисли площадь диагонального сечения.

 

Ответ:   дм²

14. 7.3.5 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРИЗМЫ

1. Перпендикулярное сечение призмы

2. Площадь боковой поверхности призмы, площадь полной поверхности

3. Вопросы и задания

1. Перпендикулярное сечение призмы

П ерпендикулярным сечением призмы называется сечение призматической поверхности  плоскостью, перпендикулярной боковому ребру.  

 Угол между плоскостью перпендикулярного  сечения призмы и плоскостью ее основания равен углу между боковым ребром и высотой призмы. 

2. Площадь боковой поверхности призмы, площадь полной поверхности

Пусть H — высота призмы, A₁B₁ — боковое ребро призмы, P_осн — периметр основания призмы, S_осн площадь основания призмы, S_бок — площадь боковой поверхности призмы, S_полн — площадь полной поверхности призмы, V - объем призмы, P⊥ — периметр перпендикулярного сечения призмы, S — площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок=P⊥A₁B₁

S_полн=2S_осн+S_бок

3. Вопросы и задания

Уровень А: Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 10.

Р ешение: 

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы  складывается из площадей 6-ти равных прямоугольников (одна сторона прямоугольника – сторона основания, вторая – высота призмы).

S_бок=6*3*10=180

Ответ: 180.

Уровень В:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 25 и 60, и боковым ребром, равным 25.

Р ешение:

Площадь поверхности призмы: S=2S_осн+S_бок

Площадь ромба: S=(d₁*d₂)/2

• S_осн=(25*60)/2=750

Боковая поверхности данной прямой призмы – 4 равных прямоугольника.

S_бок=4*AD*AA₁

Нам потребуется длина стороны ромба. Найдем ее по т. Пифагора из треугольника AOD (по свойству ромба диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам)

AD=√AO²+OD²;

Итак, S_бок=4*65/2*25=2*65*25=3250

S=2S_осн+S_бок=2*750+3250=4750

Ответ: 4750.

Уровень С:

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна а и образует с плоскостью боковой грани угол 30 градусов. Найти: в) площадь боковой поверхности призмы. г) площадь сечения призмы с плоскостью проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.