2. Примеры построения сечения параллелепипеда

У параллелепипеда 6 граней, поэтому сечением этого многогранника может быть треугольник (Рис. 9.), четырехугольник (Рис. 10.), пятиугольник (Рис. 11.) или шестиугольник (Рис. 12.).

Рис. 9.	Рис. 10.	Рис. 11.	Рис. 12.

  

При построении сечения надо вспомнить следующие знания из предыдущих тем:

 

1. Если две точки прямой принадлежит плоскости, то прямая находится в этой плоскости.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости пересекаются по прямой.

3. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.

 

Задача 1

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки K, M и N.

1. Проводим MK, так как обе точки находятся в одной плоскости

2. MK∩CC₁=X непараллельные прямые в одной плоскости пересекаются

3. проводим XN, так как обе точки находятся в одной плоскости

4. XN∩D₁C₁=P

5. проводим MP, так как обе точки находятся в одной плоскости

6. через точку N в плоскости основания NL||MP, так как линии пересечения параллельных плоскостей с третьей плоскостью должны быть параллельны

 7. Соединяем N и L и получаем сечение MPNLK.

3. Примеры построения сечения куба

4. Вопросы и задания

Уровень А:

Построить сечение

У ровень В:

Уровень С:

12. 7.3.3 ПРИЗМА

1. Понятие призмы, элементы призмы

2. Прямая, наклонная и правильная призмы

3. Сечения призмы

4. Углы, образованные диагоналями призмы и её гранями

5. Вопросы и задания

1. Понятие призмы, элементы призмы

Определение:

Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.

Грани, которые находятся в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а остальные грани — боковыми гранями призмы.

В зависимости от основания призмы бывают: 

    

Треугольными, четырехугольными, шестиугольными и др.

2. Прямая, наклонная и правильная призма

Наклонная призма — это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию.

 ABCD; KLMN — основания призмы.

  

AKLB;BLMC;DNMC;AKND — боковые грани. Все боковые грани наклонной призмы  являются параллелограммами.

 

AK; BL; CM; DN — боковые рёбра. Боковые рёбра параллельны между собой и равны.

  

KF=h — высота наклонной призмы (перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания). Часто перпендикуляр проводят с одной из вершин верхнего основания.

  

∠KAF=α — угол между боковым ребром и плоскостью основания.

  

Площадью боковой поверхности наклонной призмы называется сумма площадей её боковых граней.

Площадью полной поверхности наклонной призмы называется сумма площадей всех её граней.

Призма с боковыми рёбрами, перпендикулярными её основаниям, называется прямой призмой, как в предыдущих рисунках.

Прямая призма называется правильной, если её основания — правильные многоугольники.

 

Призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основаниям, называется наклонной призмой.

Расстояние между основаниями призмы называется высотой призмы.

 

Обрати внимание!

Высота прямой призмы совпадает с боковым ребром.  

Высота наклонной призмы — это перпендикуляр, проведенный между основаниями призмы. Часто перпендикуляр проводят с одной из вершин верхнего основания.

Без дополнительных условий невозможно определить, в какую точку проектируется высота наклонной призмы.

Диагональ призмы  — это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.

Диагональ не существует только у треугольной призмы.

Если диагонали основания прямой призмы равны, то диагонали самой призмы тоже равны.

Например, у куба, правильной четырёхугольной призмы, прямоугольного параллелепипеда диагонали равны DF=EC, т.к. DB=CA, 

а у параллелепипеда, в основании которого находится параллелограмм, диагонали только попарно равны DF≠EC, т.к. DB≠CA 

 

Обрати внимание!

Объёмные рисунки прямоугольного и прямого параллелепипедов не отличаются.

Диагональное сечение призмы — это сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Каждое диагональное сечение содержит две диагонали призмы.

Диагональное сечение прямой призмы является прямоугольником.

 

 

Диагональное сечение наклонной призмы — параллелограмм.

  

Обрати внимание!

У правильного шестиугольника диагонали бывают двух видов — короткие и длинные.

В связи с этим существует два вида диагональных сечений шестиугольной призмы:

       

 Пример:

Как найти диагонали правильного шестиугольника, если известна длина его стороны?

CE — одна из коротких диагоналей шестиугольника, BE — одна из длинных диагоналей.

Учитывая то, что углы правильного шестиугольника равны 120º,

легко найти прямоугольный треугольник, в котором есть угол 30º градусов, и использовать соотношения в этом треугольнике.