2. Понятие параллелепипеда

 

   

Параллелепипедом называется многогранник, у которого 6 граней - параллелограммы.

 

У параллелепипеда, как отмечено, 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными.

Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда.

Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда (Рис. 5.).

Рис. 5.

 

В зависимости от видов параллелограммов и их расположения, выделяют разные виды параллелепипедов:

Параллелепипеды могут быть прямые и наклонные.

У прямых параллелепипедов боковые грани прямоугольники (Рис. 5.), у наклонных - параллелограммы (Рис. 4.).

  Прямой параллелепипед, у которого основанием тоже является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

 

Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).

У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера DA, DC, DD1 (Рис. 6.).   

Рис. 6.

3. Свойства параллелепипеда

- Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

- Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

- Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.

 

4. Вопросы и задания

Уровень А:

На рёбрах CC₁ и DD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ даны соответственно точки K и L.

Назови рёбра в верхнем и в нижнем основаниях параллелепипеда, которые пересекает прямая KL.

В верхнем основании:

1. B₁C₁

2. A₁B₁

3. C₁D₁

4. D₁A₁

В нижнем основании:

1. DA

2. CD

3. AB

4. BC

Уровень В:

Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁=120 см. Определи длину рёбер AB, BC и BB₁ если AB/B₁C=2/3, а BC/BB₁=3/5.

 

Ответ: AB= 6 см; BC= 9 см; BB₁= 15 см

Уровень С:

Дан тетраэдр DABC, у которого три ребра с общей вершиной D перпендикулярны. Назовём грани между этими рёбрами боковыми гранями. Определи общую площадь боковых граней, если

 

DA=6

DB=5

DC=8

 

Ответ:

 

11. 7.3.2 Построение сечений тетраэдра, параллелепипеда и куба

1. Примеры построения сечений тетраэдра

2. Примеры построения сечений параллелепипеда

3. Примеры построения сечений куба

4. Вопросы и задания

1. Примеры построения сечения тетраэдра

Плоскостью сечения многогранника можно назвать любую плоскость, по обе стороны которой находятся точки многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранников по отрезкам.

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

 

Так как у тетраэдра 4 грани, то сечением тетраэдра может быть треугольник (Рис. 7.) или

четырехугольник (Рис. 8.).

            

Рис. 7.                                                                  Рис. 8.