1. Решение типичных задач на доказательство
Двугранный угол, линейный угол двугранного угла, угол между двумя пересекающимися плоскостями. Для нахождения угла между пересекающимися плоскостями α и β выбирают какую-нибудь точку С, принадлежащую линии с их пересечения, и восстанавливают перпендикуляры a и b к линии c, лежащие в плоскостях α и β соответственно. Угол между прямыми a и b будет искомым углом между плоскостями α и β. Если линия пересечения плоскостей α и β, указанных в задаче, не дана или находится вне данного рисунка, то для нахождения угла между плоскостями α и β выбирают какие-нибудь плоскости α’ и β’ соответственно параллельные α и β, линия пересечения которых расположена на рисунке. При этом одна из плоскостей α’ и β’ может совпадать соответственно с α или β. После этого находят угол между плоскостями α’ и β’.
2. Решение типичных задач на вычисление
Задача:
Плоскость квадрата ABCD и равностороннего треугольника ABM перпендикулярны. Вычислите расстояние от точки M до прямой CD, если |AB|=32 сантиметров.
Решение:
АВ=32, поэтому любая сторона квадрата равна 32. Назовем центр АВ, допустим, К, а центр CD - P. Тогда нам нужно рассмотреть треугольник КМР. МР = стороне квадрата, поскольку параллельна им, поэтому КР = 32. Поскольку АВМ - равносторонний, то МК является высотой треугольника АВМ и равна 16*√3. Угол МКР равен 90 градусов т.к. плоскости АВСD и ABM перпендикулярны. Тогда расстояние от М до CD равно гипотенузе треугольника КРМ и равна √(32^2 + 3 * 16^2)= 16*√7.
Ответ: 16*√7
Задача:
На одной грани двухгранного угла даны две точки A и B, из них опущены перпендикуляры на другую грань: АС=1 дм и BD=5 дм, и на ребра АЕ=4 дм и BF. Найти BF.
Решение:
Рассмотрим ∆АСЕ и ∆DBF – прямоугольные ∠АСЕ∠=∠BDF=90°. ∠E=∠F – линейные углы одного двугранного угла. => ∆АСЕ∼∆BDF
EA/FB=AC/BD
FB=(EA*BD)/AC
FB=(4*5)/1=20 дм
Ответ: 20 дм
3. Вопросы и задания
Уровень А:
В
кубе A...D1 найдите
угол между плоскостями ADD1 и
CDD1.
Уровень В:
В
кубе A...D1 найдите
угол между плоскостями ACC1 и
BDD1.
Уровень С:
В
кубе A...D1 найдите
угол между плоскостями BCD1 и
ACC1.
Тема 7.3 многогранники
10. 7.3.1 Тетраэдр. Параллелепипед
1. Понятие тетраэдра
2. Понятие параллелепипеда
3. Свойства параллелепипеда
4. Вопросы и задания
1. Понятие тетраэдра
Тетраэдр (четырехгранник) - многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, (от греческого tetra - четыре и hedra - грань).
Рис.
1.
У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер (Рис.1.).
Один из треугольников называется основанием тетраэдра, а три остальные - боковыми гранями тетраэдра.
В зависимости от видов треугольников и их расположения, выделяют разные виды тетраэдров.
В школьном курсе чаще говорят о следующих видах тетраэдра:
- равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники;
- правильный тетраэдр, у которого все четыре грани - равносторонние треугольники (Рис. 2.).
Рис. 2.
Свойство правильного тетраэдра:
Из определения правильного многогранника следует, что все ребра тетраэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.