2. Угол между плоскостями

 Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла).

Рассмотрим один из них.

 

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его  гранями.

Общая прямая a этих граней называется ребром двугранного угла.

 Выберем на ребре a двугранного угла произвольную точку C и проведём две пересекающиеся прямые AC⊥a и BC⊥a, а через эти прямые плоскость γ перпендикулярно ребру a.

Л инии пересечения AC и BC полуплоскостей α и β с плоскостью γ образуют некоторый угол ∠ACB. Этот угол называется  линейным углом двугранного угла. Величина линейного угла не зависит от выбора точки C на ребре a .

 

Обрати внимание!

Величина двугранного угла  0°<∠ACB <180°.

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению.

3. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Если при пересечении плоскостей один из двугранных углов 90°, то три остальные углы тоже 90°. Эти плоскости называют перпендикулярными.

Следующие теоремы, которые здесь приведём без доказательств, могут пригодиться при решении задач.

 

1. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

2. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.

3. Если две плоскости перпендикулярны и в одной из них проведена прямая перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

4. Многогранные углы

Объясним понятие многогранных углов.

П редставим несколько лучей в пространстве с общим началом. Их можно представить тоже как часть линий пересечения плоскостей - трёх, четырёх или больше и назвать рёбрами многогранного угла.

 

 

 Трёхгранный угол  Четырёхгранный угол Пятигранный угол

 Каждые два луча образуют угол, который называют плоским углом многогранного угла.

  

Обрати внимание!

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

 

Сумма плоских углов многогранного угла меньше 360°.

5. Вопросы и задания

Уровень А:

К плоскости α проведена наклонная, длина которой равна 26 см, проекция наклонной равна 10 см. На каком расстоянии от плоскости находится точка, из которой проведена наклонная?

Точка находится на расстоянии 24 см от плоскости.

Уровень В:

Двугранный угол равен 30°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 26 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

 

Расстояние равно 13 см     

Уровень С:

П лоскости равнобедренного треугольника AKB и прямоугольного треугольника ACB перпендикулярны.

Какое будет расстояние CK, если KA=KB=CA= 40 см, CB =42 см, AB=58 см.

 

KC=  см.

9. 7.2.9 Решение задач на нахождение двугранных углов

1. Решение типичных задач на доказательство

2. Решение типичных задач на вычисление

3. Вопросы и задания