3. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона используется в тех случаях, когда в некотором интервале времени (0, t) случайное событие ξ появля­ется с малой вероятностью р.

Если предположить, что число испытаний n неограниченно возрастает (n→∞) и это сопровождается уменьшением вероятности р (p→0) так, что произведение np = μ = m = const (m – математическое ожидание) остаётся постоянным, а поток событий n удовле­творяет требованиям стационарности, ординарности и отсутствия последействия, т.е. является простейшим потоком, то распреде­ление Пуассона описывается выражением

P{ξ=k}= (μ)^k*e^-μ/k! (3.3)

где P{ξ=k}— вероятность появления ровно k событий в заданном интер­вале Δt; μ = m - математическое ожидание (среднее число) событий в интервале времени Δt.

Среднее число отказов изделия в заданном интервале време­ни Δt в теории надежности принято называть показателем надеж­ности.

Для простейшего потока отказов μ = λt, тогда

P_k (t)= (λt)^k*e^-λt/k! (3.4)

где λ — интенсивность случайного события, часто называемая па­раметром закона Пуассона.

10

Основные характеристики распределения Пуассона следую­щие:

• математическое ожидание Μ(ν) = m = λt;

• дисперсия D = σ²(ν) = λt,

причем M(v) = σ²(ν), что является особенностью данного распре­деления;

σ = = – cреднеквадратическое отклонение

Биномиальное распределение приемлемо для любого значе­ния p, а

распределение Пуассона — только для малого p. Следо­вательно, с позиции математики закон распределения Пуассона уже биномиального распределения, но с позиции физики он шире вследствие своей применимости. Так, для ремонтируемого элемента АСУ после окончания периода приработки, когда λ = 1/Т_ср = const, случайное число отказов в процессе эксплуатации распре­деляется по закону Пуассона, а вероятность появления событий

P_k = [(t/T_ср)^k*exp(-t/T_cp)]/k! (3-6)

Распределение Пуассона обычно применяют для определения вероятности появления некоторого числа событий (отказов) в заданном интервале времени при условии независимости и не­совместности этих событий (отказов).

8. Сравнение результатов вычислений по формулам Бернулли и Пуассона

Представляет интерес сопоставить результаты вычисления по формулам Бернулли и Пуассона для одинаковых значений n, т, p. Практика показывает,

вычисления по ряду формул дают достаточно близкие результаты уже при n > 50.

При анализе последовательных значений вероятностей Р_m (n) при n = 0, 1, 2 предел вероятности Р_n (k) при n→∞ и при kp=λ= const обозначают π_λ(m).

При вычислении вероятностей по известным формулам (приведены ниже) весьма удобно использовать встроенные функции Mathcad:

dbinom(k, n, p) — вычисляет вероятности Р_n (k) по формуле Бернулли

Р_n (k)=С_n^kр^k(1-р)^n-k;

pbinom(k, n, p) — вычисляет вероятности Р*_n (k) по формуле

P*_n(k) = P_n(0) + P_n(1) + P_n(n) +…+ P_n(n) =Σ_i=0^kP_n(i).;

dpois(n, λ) — вычисляет вероятности π_λ(k) по формуле Пуассона

Р_n(k) → π_λ(k) = (λ^ke^-λ)/k!;

ppois(n, λ) — вычисляет вероятности Р*_λ (k) по формуле

Р*_λ (k) = Σ_i=0^k π_λ(i).

Приближенную формулу для определения вероятности P_n(k) появления события ровно k раз при большом числе испытаний n для p = 0.5 получил английский математик Абрахам де Муавр (1667—1754), на случай

11

произвольного p обобщил фран­цузский астроном и математик Пьер Симон

Лаплас (1749—1827). Асимптотическое приближение, полученное этими учеными, формулируется в виде теоремы Муавра-Лапласа, в которой ис­пользуется вспомогательная функция

φ(x) =(1/ )*exp(-x²/2).

Ниже приводится график этой функции, построенный в Mathcad

Если число незави­симых испытаний n неограниченно возрастает, а вероятность появления собы­тия в каждом из испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то согласно локальной теореме Муавра—Лапласа веро­ятность появления ровно k событий в n испытаниях приближенно равна

P_n(k) = (1/ )* φ(x) = (1/ )* (1/ )*exp(-x²/2),

x = (k-np)/ .

Значения φ(x) могут быть получены из специальных таблиц или, как указывалось, найдены путем вычислений в среде Mathcad. Функция φ(x) — четная, т. е. φ(χ) = φ(-*), поэтому таблицы ее значений со­ставлены для положительных значений аргументов х.

Пример 1. Пусть вероятность брака в массовом производстве деталей равна 0.1. Какова вероятность того, что из 400 наугад выбранных деталей 50 окажутся бракованными?

о Решение. Ниже приведены результаты решения этого примера с использованием описанных ранее встроенных функций системы Mathcad. Ис­комая вероятность вычислена в этой задаче по формуле

12

Бернулли Р_n (k)=С_n^kр^k(1-р)^n-k

Пуас­сона P{ξ=k}= (μ)^k*e^-μ/k! или Р_n(k) → π_λ(k) = (λ^ke^-λ)/k!

и Муавра—Лапласа P_n(k) = (1/ )* (1/ )*exp(-x²/2),

x = (k-np)/ .

По условиям задачи n - 400, k = 50, p = 0.1. Для получения точного реше­ния нужно воспользоваться формулой Бернулли, вычисления по которой для наших исходных данных без применения средств вычислительной техники весьма громоздки. Поэтому вероятность Pn вычисляется с помощью функ­ции dbinom. Решения по формуле Пуассона и по теореме Муавра— Лапласа найдены с применением функций dpois и dnorm. Таким образом, получены: точное решение (Pb = 0.016) и два приближенных — с использованием формулы Пуасcона (Pois = 0.018) и теоремы Муавра—Лапласа (Р = 0.017).

Результаты свидетельствуют о высокой точности значения искомой вероятности, полученные с помощью формулы теоремы Муавра— Лапласа.

Пример 2

РЭС состоит из 1 000 узлов. Вероятность отказа любого узла в течение одного года равна 0,001 и при этом не зависит от состояния других узлов РЭС. Найти вероятности двух отказов и не менее двух отказов в течение года.

Решение. Среднее число отказов в течение года А = nq = 1000*0,001 = 1.

Вероятность отказа двух узлов по распределению Пуассона

Р(т 2) = р₂=(A²/2!)*e^-A = 0,184

Вероятность отказа не менее двух узлов

P(m ) = 1 – Σ_o¹p_n = 1- p₀ – p₁ = 1- e^-A(1 + A) = 0,264

Пример 3

РЭС состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой за время t вероятностью отказа каждого элемента Ρ = 1. Найти среднее число элементов, отказавших за время t, если вероятность того, что

13

за время t не произойдет ни одного отказа элементов, равна е-².

Решение. Используем распределение Пуассона. Если А сред­нее число отказов за время t, то при т = 0 (т. е. не произошло ни одного отказа в РЭС) запишем

(А⁰/0!)е-^А = е-², т. е. е-^А = е-², откуда А = 2.

Применение схемы Пуассона для анализа надежности

Надежность, наряду с другими техническими характеристиками систем (точность, габаритные размеры, вес, энергоемкость и проч.), представляет со­бой одну из их важнейших эксплуатационных характеристик. Под надежностью системы понимается свойство технической системы сохра­нять свои свойства на определенном промежутке времени. Одной из количест­венных характеристик надежности может служить вероятность безотказной работы в течение фиксированного интервала времени Т.

Пусть некоторая система имеет n звеньев, соединенных определенным об­разом в эквивалентную (логическая) схему надежности системы. Структура системы надежности может быть одной из трех типов схем соединения звеньев: последовательного, параллель­ного и смешанного (включающего элементы первых двух схем).

В процессе эксплуатации на интервале времени Т эти звенья могут вы­ходить из строя. При последо­вательном соединении звеньев отказ одного из них вызовет выход из строя всей системы в целом. При параллельном соединении отказ системы может быть вызван лишь отказом всех

параллельно работающих звеньев. Структура, относящаяся к смешанному соединению, имеет особенности, присущие двум предыдущим структурам.

Будем считать, что отказы отдельных звеньев системы независимы в сово­купности, т. е. отказ одного или даже нескольких звеньев не влияет на вероят­ность безотказной работы остальных на интервале Т. В течение Т часть звеньев может находиться в рабочем состоянии и может происходить несколько отка­зов, т. е. совокупность возможных состояний звеньев представляет множество совместных событий.

Последовательная логическая схема надежности.

Обозначим через A_{ncл i} и _{ncл i} (i = 1, 2., ... , п) рабочее состояние и отказ i-го последовательно соединенного звена соответственно. Тогда для последо­вательного соединения звеньев сложное событие — безотказная работа систе­мы А_ncл— образуется произведением событий A_{ncл i}.

A_ncл = П_i=1ⁿ A_{ncл I} = A_{ncл 1} A_{ncл 2}… A_{ncл n}

В силу предположения о независимости вероятность безотказной работы последовательно соединенных звеньев определяется произведением вероятно­стей их рабочего состояния:

14

P(A_ncл ) = П_i=1ⁿ P(A_{ncл i}).

Кроме того P(A_ncл ) + P( _ncл ) = 1

Эти выражения учитывают, что при последовательном соединении для вы­хода из строя всей системы в целом достаточно отказа хотя бы одного звена, а для того чтобы вычичлить вероятность отказа такой системы достаточны вычесть из единицы вероятность безотказной работы P(A_ncл ), т.е.

P( _ncл ) = 1 - P(A_ncл )

Параллельная логическая схема надежности.

При параллельном соединении звеньев для безотказной работы системы (событие А_прл) достаточно, чтобы имело место хотя бы одно из событий А_{прл ;}, т. е. или А₁, или А₂, ... или А_n. Отказ системы при параллельном соединении элементов возможен лишь при выходе из строя всех элементов одновременно. Таким образом,

A_прл = Σ_i=1ⁿ A_прлi = A_{прл 1}+ A_{прл 2} +…+ A_{прл n}

Поскольку в общем случае события A_{прл i} — совместны, для определения вероятности безотказной работы Р(А_прл) системы параллельного типа необхо­-

димо применить общую формулу вероятности суммы событий. Так, для схемы дублирования звеньев (n = 2) имеем

P(A_{прл 1}+ A_{прл 2}) = P(A_{прл 1}) + P(A_{прл 2}) - P(A_{прл 1}*A_{прл 2})

При больших значениях n подобные выражения становятся неудобными для практического применения. Значительно проще вычислять вероятность безотказной работы совокупности параллельно соединенных звеньев путем вычитания из единицы вероятности от­каза всей системы.

Отказ системы параллельной структуры эквивалентен отказу всех звеньев,

т.е. совместным отказам — произведению событий _прл (i = ):

_прл = Π_i=1ⁿ _прл i.

Здесь _прл — сложное событие (отказ системы), представляющее собой дополнение к сумме событий A_{прл i} т. е. к событию A_прл.

В силу независимости отказов вероятность P( _gрл) выхода системы из строя равна произведению вероятностей отказов отдельных звеньев:

P( _gрл) = П_i=1ⁿ P( _{nрл i})

Поскольку при анализе безотказного состояния системы в качестве иско­мых выступают вероятности отказов одного и нескольких звеньев, в рассмат­

15

риваемой постановке целесообразно обозначить вероятности отказов каждого

звена через p_i, i = 1, 2, ..., n. Тогда искомые вероятности P_n(k) отказов k звеньев

(k = 0, 1, ... n) при п испытаниях могут быть найдены как коэффициенты β_k функции φ(z) в соответствии с подходом, описанным выше.

Пример 4

В качестве примера рассмотрим три параллельно работающих звена, веро­ятности безотказной работы которых равны 0.8, 0.9, 0.95. Требуется опреде­лить вероятности отказов одного, двух и трех звеньев за фиксированный ин­тервал времени, а также вероятность безотказной работы системы.

Составляя функцию φ(z), получаем решение, представленное ниже.

q₁*q₂*q₃ = q₀=z₀

Вероятности появления отказов одного, двух и трех звеньев равны, соот­ветственно, 0.283, 0.032 и 0.001. Вероятность безотказной работы cистемы, обозначен­ная в mcd-файле через Р равна 0.999.

Вероятности появления отказов одного, двух и трех звеньев равны, соот­ветственно, 0.283, 0.032 и 0.001. Вероятность безотказной работы, обозначен­ная в mcd-файле через Р, получена по формуле для φ(z) и равна 0.999.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. По каналу связи передается n = 5 сообщений, каж­дое из которых искажается независимо от других с веро­ятностью p = 0,1. Постройте ряд распределения числа ис­каженных сообщений ξ. Определите закон распределения случайной величины ξ, найдите ее математическое ожи­дание и дисперсию.

2.Из-за снижения качества электрической энергии в ней происходит в среднем 8 отключений технологического оборудования в месяц. В пред-положе­нии, что все отключения в течение месяца независимы и их число имеет распределение Пуассона, определите вероятность того, что в течение двух месяцев произойдет 20 или более отключений.

16

3.Подводная лодка атакует корабль, выстреливая по нему последовательно n торпед, вероятность попадания каждой из которых в корабль равна р. При попадании тор­педы с вероятностью 1/m затопляется один из т отсеков корабля. Определить вероятность потопления корабля, если для этого необходимо разрушение не менее двух от­секов.

4. Производятся испытания n изделий на надежность. Вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна р. Построить ряд распределения случайного числа изделий, выдержавших испытания.

2. Партия из 100 изделий содержит 10 бракованных. Из всей партии случайным образом отбирают с целью про­верки качества 5 изделий. Определите математическое ожидание числа бракованных изделий, содержащихся в случайной выборке.

3. Электронная система управления состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух элементов за год?

4. В приборный отсек космического аппарата за вре­мя его полета попадает k частиц с вероятностью

P(k,λ)= μ^k e^-μ/k!

Условная вероятность для каждой частицы попасть в уязвимый блок

равна р. Определите вероятность попада­ния в блок: ровно k частиц;

хотя бы одной частицы.

8.Рукопись, сданная в издательство, содержит 500страниц. При этом

количество опечаток равно 500. Опре­делите вероятность того, что на

одной странице содержит­ся не менее трех опечаток.

Контрольные вопросы

1. В каких случаях используется распределение Пуассона?

2. Приведите формулу Пуассона.

3. Основные характеристики распределения Пуассона?

4. Дайте сравнение биномиального распределения и распределения Пуассона.

5. В чем смысл применения схемы Пуассона для анализа надежности?

6. Как определяется вероятность безотказной работы для последовательно включенных в логическую схему элементов? Приведите примеры.

7. Как определяется вероятность безотказной работы для параллельно включенных в логическую схему элементов? Приведите примеры.

17

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА

Асимптотические приближения в схеме испытаний Бернулли исследова­лись также и другими математиками. Так, приближенную формулу для опре­деления вероятности P_n(k) появления события ровно k раз при большом числе испытаний n для p - 0.5 получил английский математик Абрахам де Муавр (1667—1754). Этот результат был обобщен на случай произвольного p фран­цузским астрономом и математиком Пьером Симоном Лапласом (1749—1827). Асимптотическое приближение, полученное этими учеными, формулируется в виде теоремы, которая приводится здесь без доказательства. В теореме ис­пользуется вспомогательная функция

- интеграл от этой функции носит название функции Лапласа (см. ниже).