Мтуси лкц № 3,а по курсу «диагностика и надежность» изучение статистических моделей теории надежности для дискретных случайных величин

Биномиальный закон распределения

Большинство процессов, приводящих к возникновению отка­зов в электронных блоках АСУ, основываются на общих закономерностях. Следователь­но, распределения случайных величин, описывающие реальные процессы возникновения отказов в АСУ, можно приближенно заменять известными в теории вероятностей распределениями.

В теории надежности наибольшее распространение для ди­скретных случайных величин получили биномиальный закон рас­пределения и распределение Пуассона, а для непрерывных слу­чайных величин — экспоненциальный и нормальный законы распределения, закон Вейбулла, гамма-распределение и распре­деление Рэлея.

Два испытания называют независимыми, если в поле событий, образо­ванном композицией их исходов, вероятности элементарных событий вида E_kDj определяются по правилу умножения вероятностей независимых собы­тий:

P(E_kD_j) = P(E_k) P(D_j).

Применительно к двум испытаниям приведенное соотно­шение означает, что исходы первого испытания не влияют на вероятность по­явления того или иного исхода во втором испытании. Последовательность та­ких испытаний определяется как композиция двух независимых испытаний.

Пусть теперь производится η испытаний, причем результатом первого ис­пытания является А₁, второго — А₂, последнего — А₃.

Композицией n независимых испытаний называется такое сложное ис­пытание, для любого возможного результата Α\Αι...Α_η которого справедливо соотношение

Ρ(Α,Α₂...Α_ί ...Α_n) = Ρ(Α₁)Ρ(Α₂)...Ρ(Α_ί·)...Ρ(Α_n),

где вероятность Р(А_i) определена для возможного исхода i-го испытания неза­висимо от всех других испытаний.

Ниже рассматривается композиция n независимых испытаний, каждое из которых имеет два независимых исхода (успех или неуспех). Подобная схема испытаний в условиях, когда вероятности успеха не зависят от номера испытания носит название схемы Бернулли (1654-1705).

Рассмотрим сложное испытание А, составленное последовательностью n (серией) n независимых испытаний, образованной повторением одного и того же испытания в одинаковых условиях (например, бросания монеты). В качестве элементарных исходов для каждого отдельного испытания серии будем

предполагать два исхода: появле­ние события А (успех) с вероятностью р = const и события А (неуспех) с веро­ятностью q = 1 - р.

Распределение Бернулли

Дискретная случайная величина ξ имеет распределе­ние Бернулли с параметром p (0 <р < 1), если Ρ(ξ = 1) = p; Ρ(ξ = 0) = 1 - p = q. Распределение Бернулли представляет собой модель любого случайного эксперимента,

1

исходы ко­торого принадлежат двум взаимно исключающим классам (либо отказ, либо работоспособное состояние объекта).

Функция распределения:

F(x):=

Математическое ожидание т = р; дисперсия D = pq.

Биномиальное распределение

Поставим задачу определить вероятность того, что в серии из n испытаний событие А появилось ровно k раз (k = 0, 1, 2, . . . п).

Каждая серия как сложное испытание А будет характеризоваться числом k появлений события А и числом (п — k) появления . Результат серии будем фиксировать, последовательно проставляя символ А или на месте, соответ­ствующем номеру составляющего серию отдельного испытания. Тогда про­странство элементарных событий сложного испытания А, образованного по­следовательностью n однотипных испытаний, будет составлено сложными со­бытиями вида

b_n,k=A AA …A.

Биномиальный закон распределения характеризует вероят­ность появления события A (или ) в n независимых опытах. Если веро­ятность появления события А в одном опыте равна p (соответ­ственно вероятность его непоявления q = 1 - p), а число незави­симых испытаний равно n, то вероятность появления k раз со­бытия A в серии из n опытов можно представить следующим вы­ражением (формула Бернулли):

Р_n(k)= С_n^kрⁿ(1-р)^n-k. (3.1)

Здесь число сочетаний n по k

С_n^k= n! /[k!(n-k)!] (3.2)

При этом следует иметь в виду, что С_n^k представляет собой целое положительное число. Очевидно, что вероятности p явля­ются членами разложения по биному Ньютона.

Σ_i=0ⁿP_n(i) = (p+q)ⁿ = С_n^kрⁿ(1-р)^n-k, p+q=1. (3.3)

Случайная величина ξ имеет биномиальное распреде­ление с параметрами n,р (0 <р < 1, n > 1), если

Ρ(ξ = k) = С_n^k p^k (1 - p)^n-k = С_n^k p^k q^k, k = 0, 1, …, n, С_n^k = combin(n,k)

2

Биномиальное распределение является моделью слу­чайных экспериментов, состоящих из n независимых од­нородных испытаний Бернулли. Если ξ_k (k=1, ..., n) неза­висимы и имеют распределения Бернулли с параметром p, то случайная величина ξ = Σ_k=1ⁿ ξ_k имеет биномиальное рас-

пределение с параметрами n, р. Примеры графического представления биномиального закона распределения по­казаны на рис. 2.9.

Функция распределения:

Если случайные величины ξ_k (k=1,…, n) независимы и имеют распределение Бернулли с параметром p, то случайная величина ξ=Σ_k=1ⁿ ξ_k имеет биномиальное распределение с параметрами р и п.

Основные характеристики биномиального распределения сле­дующие:

• математическое ожидание Μ(k) = рп;

• дисперсия D = σ²(ν) = M(ν)q = npq;

• среднеквадратическое отклонение σ =

Биномиальный закон распределения применяется обычно при статистическом контроле качества, т. е. когда очень мало сведений о поведении изделий, а их необходимо разделить на годные и бракованные.

При решении задач с использованием формул (3.1 и 3.2), а также формул для расчета комулятивной (накопленной) вероятности, т.е.

получить вероятность появления события ровно n раз, не более чем n (n раз и менее) и не менее, чем n раз (n раз и более) удобно пользоваться программой Mathcad. Значение вероятностей по формуле Бернулли выводит встроенная функция dbinom (k,n,p), комулятивные вероятности вычисляются функцией pbinom (k,n,p), а для вычисления числа сочетаний предусмотрена встроенная функция combin(n,k).

3

Формулы для расчета вероятностей для характерных случаев

1. Вероятность того, что событие A произойдет не более, чем k раз в n испытаниях P*_n(k), т.е. появится менее и ровно k раз, а именно: появится или 0, или 1 и так до k раз. Другими словами, нас интересует результат, заключающийся в объединении событий, а это сумма событий (логическое «ИЛИ»). Вероятность такого события равна сумме вероятностей:

P*_n(k) = P_n(0) + P_n(1) + P_n(3) +…+ P_n(k) =Σ_i=0^k P_n(i). (3.4)

2. Вероятность появления события А не менее k раз

R_n (k) = 1 – Σ_i=0^k-1 P_n(i). (3.5)

3. Вероятность того, что событие А произойдет хотя бы один раз

R_n (1) = P_n(1)+ P_n(2)+…+ P_n(n) = Σ_j=1ⁿ P_n(j) = 1 – P_n(0). (3.6)

4. P_n(0) – не появление события А

5. P_n(0)=qⁿ. (3.7)

6. Появление хотя бы одного события

R_n(1) =1 - qⁿ, поскольку

R_n (1) = 1 – P_n(0), P_n(0) = qⁿ. (3.8)

7. Вероятность того, что событие А произойдет не более одного раза P*_n(1) = P_n(0) + P_n(1) = [1 + p(n - 1)] q^n-1. (3.9)

При вычислении вероятностей по известным формулам (приведены ниже) весьма удобно использовать встроенные функции Mathcad:

dbinom(n, k, p) — вычисляет вероятности Р_n (k) по формуле Бернулли

Р_n (k)=С_n^kр^k(1-р)^n-k;

pbinom(n, k, p) — вычисляет вероятности Р*_m (n) по формуле

P*_n(k) = P_n(0) + P_n(1) + P_n(3) +…+ P_n(k) = Σ_i=0^k P_n(i);

dpois(n, λ) — вычисляет вероятности π_λ(n) по формуле Пуассона

Р_n (k) → π_λ(k) = (λ^ke^-λ)/k!;

4

ppois(n, λ) — вычисляет вероятности Р*_λ (k) по формуле

Р*_λ (k) = Σ_i=0^k π_λ(i).

Пример 1.

В процессе проверки качества деталей на контроль взято 10 де­талей, из которых наугад осуществляется выборка отдельных деталей с воз­вращением в контрольную группу после проверки. Доля некондиционных де­талей во всей партии равна 0.05. Каковы вероятности обнаружить в контроль­ной группе:

1. 2-e некондиционные детали?

2. не более 2-x некондиционных деталей?

3. не менее 2-x некондиционных деталей?

Решение. По условию задачи k = 2, n = 10, p = 0.05, q = 1 - p = 0.95.

Вероятность обнаружить 2 некондиционные детали из 10 вычисляется по формуле (3.3):

Р_n (k)=С_n^kр^k(1-р)^n-k, Р₁₀(2) = 0.075. Ответ на второй вопрос задачи дает формула для кумулятивной вероятности:

P*₁₀(2) = Р₁₀(0) + Ρ₁₀(1) + P₁₀(2) = 0.599 + 0.315 + 0.075 = 0.988.

Для ответа на третий вопрос воспользуемся формулой (3.5): R₁₀(2) = 1 - [Р₁₀(0) + Р₁₀(1)] = 0.086.

Ниже представлено решение этой задачи в среде Mathcad. В первых двух строках mcd-файла по формуле Бернулли (3.1) вычисляется Р₁₀(2). Прямые вычисления сопровождаются применением функций dbinom и combin. Затем на основе dbinom и pbinom формируются две функции пользо­вателя, с помощью которых вычисляются значения вероятностей P_n(k) и P*_n(k) при различных исходных значениях k, n и р. Вероятности P_n(k) в представлен­ном файле обозначены D(x, n), кумулятивные вероятности P*_n(k) — через P(k, n), а вероятность R₁₀ (2) обозначена R. В нижней строке кумулятивная вероят­ность вычислена по формуле (3.3).

C:=combin(10,2) С = 45 ^{10!/2*8! = 45}

С-0.05².0.95⁸ = 0.075: dbinom(2,10,0.05) = 0.075

D(k,n) := dbinom(k,n,0.05) P(k,n) := pbinom(k,n,0.05)

D(0,10) =0.599 D(l ,10) = 0.315 D(2,10) = 0.075

R:= 1-(D(0,10)+D(1,10)) R = 0.086

n:= 10 D(0,n)+D(l,n)+D(2,n) =0.988 P(2,10) = 0.988

Пример 2

В автомобиле обнаружено 4 вида неисправностей, которые проявляются с вероятностями 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 соответственно. Осуществлено четыре

5

независимых последовательных испытания. Определить вероятности

обнаружения одной, двух, трех, четырех неисправностей и вероятность не об­наружить ни одну из них. Найти вероятность обнаружения в этих условиях не менее двух неисправностей.

Решение. По условиям задачи p₁= 0.1, р₂ = 0.2, р₃ = 0.3, р₄ = 0.4. Требует­ся определить вероятности Р₄(0), Р₄(1), Р₄(2), P₄(3), Р₄(4) и R₄(2). Решение осуществляется с использованием формул (3.17), (3.20). Для проверки пра­вильности определения вероятностей P₄(k), где k = 0, 1, 2, 3, 4, может быть ис­пользовано выражения

φ(z) = Σ_k=0ⁿ P_n(k)z^k, R_n(k)= 1- Σ_i=0^k P_n(i).

Результаты решения задачи в Mathcad представ­лены ниже.

Для осуществления символьных преобразований функции φ(z) удоб­но использовать следующие операторы символьной палитры программы Mathcad:

° collect — разлагает функцию φ(z) по степеням z;

⁰ expand — выводит все члены разложения без приведения подобных;

⁰ coeffs — выводит вектор коэффициентов β_k разложения; может исполь­зоваться как при непосредственном задании φ(z) в указанном виде, так и после применения операторов collect;

° substitute — используется для подстановки числовых или символьных значений в промежуточные или результирующие выражения.

Возможности перечисленных операторов иллюстрируются ниже, ко­торый содержит решение задачи при n= 4.

φ(ζ) :=(pl*z + ql)* (p2-z + q2)* (p3*z + q3)* (p4*z + q4)

6

Коментарий. Составленная функция φ(z) (первая строка) с помощью команды SymbolicsNCollect разложена по степеням z. С помощью команды SymbolicsXPolinomial Coefficients главного меню системы получен вектор ис­комых вероятностей P₄(k), который затем обозначен как вектор Р. Первый

элемент вектора представляет вероятность Р₄(0) не обнаружить ни одну неис­правность, последний — вероятность Р₄(4) обнаружения всех неисправностей. Вероятность R₄(2) обнаружения не менее двух неисправностей обозначена в файле через R.

Для проверки по формуле

φ(1) = Σ_k=0ⁿ β_k = Σ_k=0ⁿ P_n(k) = 1

результатов решения задачи введена вспомогательная строка h. Результат произведение h и Ρ равен единице, что подтверждает правильность найденных значений P₄(k).

Пример 3

Связь космического аппарата с Землей осуществляется по пяти каналам, работающим независимо друг от друга. Вероят­ность отказа любого канала в течение времени t равна 0,1. Опре­делить вероятности отказов в интервале времени (0, t) одного канала, не более двух каналов и не менее трех каналов.

Пример 4.

На поверхности защитного экрана радио­телескопа в результате эксплуатации образовалось шесть дефектов – n=6. Площадь экрана равна S₀. Определите вероят­ность того, что по крайней мере четыре

7

дефекта (k=4) окажутся внутри квадрата площадью S, расположенного на поверх­ности экрана.

Решение. Вероятность того, что какой-либо дефект окажется внутри указанного квадрата, равна р = S/S₀. Тогда вероятность того, четыре и более дефекта окажутся внутри данного квадрата, равна

P(k ) = C₆⁴p⁴q² + C₆⁵p⁵q¹ + C₆⁶p⁴q⁰ .

Ниже приводится решение, проведенное в программе Mathcad.

⁷