Методические указания

В лабораторной работе исследуется поведение линейной системы, поведение которой описывается дифференциальным уравнением относительно выходной переменной вида

ӱ + a1ẏ + a0y = a0u.

Значения a0, а1 определяются по соответствующим коэффициентам характеристического полинома (р-р1) (р-р2), где р1, р2– заданные корни характеристического уравнения, в общем случае р1,2 = (α ± jβ). Исходные данные приведены в таблице1.

Таблица1.

Структурная схема системы, составленная по дифференциальному уравнению(3) на интегрирующих элементах, имеет вид

Рис.7.1. Структурная схема системы

Для построения фазового портрета выводятся сигналы у (по оси абсцисс) и ẏ (по оси ординат). Если входное воздействие равно нулю, то начальные условия у и ẏ задаются отличными от нуля. В случае неустойчивой системы следует выбирать начальные условия небольшими по модулю.

Порядок выполнения работы

4.1. Определить коэффициенты уравнения (3) для случая мнимых корней р1,2=±jβ, значение β взять из табл.1. в соответствии с номером варианта.

4.2. Собрать модель системы по структурной схеме, приведенной на

рис.1.

4.3. Получить вид переходного процесса при нулевых начальных условиях и u = 1(t). Оценить устойчивость.

4.4. Снять фазовую траекторию при исходных данных п.4.3.

4.5. Повторить пп. 4.1, 4.3-4.4 для различных значений корней характеристического уравнения:

а) р1,2 = -α ±jβ;

б) р1,2 = +α ±jβ;

в) р1 = -α, р2 = - β;

г) р1 = +α, р2 = +β;

д) р1 = +α, р2 = -β.

Содержание отчета

5.1. Характеристические уравнения моделей исследуемых систем с вычисленными значениями коэффициентов.

5.2. Координаты особых точек.

5.3. Графики пп. 4.3-4.5

5.4. Выводы по работы.

6. Контрольные вопросы

6.1. Как влияют параметры линейной системы на вид фазового портрета?

6.2. Какие типы особых точек существуют в линейных системах?

6.3. Как определить показатели качества процессов по виду фазовой траектории?

6.4. Как построить кривую переходного процесса по виду фазовой траектории?

6.5.Как построить фазовую траекторию аналитическим методом?

Лабораторная работа №11 Положения равновесия и устойчивость нелинейных систем

Цель работы: исследовать устойчивость систем с однозначными и неоднозначными нелинейными характеристиками относительно имеющихся положений равновесия.

Основные сведения

В отличие от линейного случая, нелинейные системы могут иметь несколько положений равновесия, причем одни из них являются устойчивыми, а другие- неустойчивыми. Кроме того, при некоторых сочетаниях параметров и внешних воздействий система может не иметь реальных положений равновесия.

Для определения точки равновесия необходимо приравнять нулю производные в дифференциальном уравнении состояния системы

ẋ = f(x,u), x∈ Rⁿ, u ∈ R^m

Если полученные при этом решения будут действительными, то положение равновесия существует, в противном случае оно отсутствует.

Для анализа устойчивости положения равновесия можно использовать метод линейного приближения системы дифференциальных уравнений объекта. С этой целью разложим функцию ƒ (·) в ряд Тейлора при u =const малой окрестности состояния равновесия x⁰ и, ограничившись первым членом ряда разложения, получим матрицу линейного приближения в виде

Для линеаризованной системы

ẋ = A x

анализ устойчивости положения равновесия сводится к анализу собственных значений матрицы A.

Устойчивость положения равновесия нелинейной системы второго порядка можно определить по ее фазовому портрету, построенному с помощью метода изоклин или полученному в результате моделирования. Процессы в нелинейной автономной системе второго порядка развиваются в силу уравнений

ẋ₁ = ƒ₁(x₁,x₂),

ẋ₂ = ƒ₂(x₁,x₂),

где ƒ₁ , ƒ₂ - известные нелинейные функции, которые описывают нелинейные зависимости (нелинейности) между входными сигналами звеньев. Различают однозначные и неоднозначные нелинейности. К первому виду относятся характеристики, для которых значение ƒ_i определяется только текущим значением аргументов. В противном случае характеристика звена называется неоднозначной (значение входной переменной зависит, например, от текущего значения и производной входной переменной).

Анализируя поведение фазовых траекторий вблизи положения равновесия, можно оценить устойчивость объекта экспериментально. Для этого в объекте задаются начальные условия в малой окрестности точки равновесия. Если фазовая траектория стремится к точке, соответствующей положению равновесия, то объект устойчив.