2.12. Рішення задачі оптимальної фільтрації
Висловимо
вихід фільтра через інтеграл згортки
yˆ
,
⎧hf (t),t ≥ 0
где hf (t) – імпульсна функція реалізується фільтра hf (t) =⎨ , и ⎩ 0, t < 0
запишемо дисперсію помилки фільтрації
M
.
Мінімізація дисперсії помилки як варіаційна задача на екстремум призводить до вирішення щодо імпульсної функції наступного інтегрального рівняння [7]:
Kxy
,
ке називається рівнянням Вінера - Хопфа або рівнянням оптимальної винеровской фільтрації.
Рішення рівняння Вінера - Хопфа зручно представити в спектральної області, застосувавши перетворення Фур'є до обох частин:
Sxy (ω) =W ( jω)Syy (ω),
звідки слід рішення в частотній області
Sxy (ω)
Wopt ( jω) =
Syy (ω)
і в тимчасовій
hopt
Wopt
(
jω)e
jωtdω.
Якщо відомі спектральні властивості вхідного сигналу і перешкоди, то рішення набирає вигляду
Sxx (ω) .
Wopt ( jω) =
Sxx (ω) +Svv (ω)
Основні функції аналізу сигналів в середовищі матлаб
3.1. Функції генерації сигналів
У комп'ютері сигнал можна представити тільки в дискретно вигляді як послідовність чисел або як вектор (числовий масив) кінцевої розмірності. Значення сигналу або його відліки «прив'язані» до певних значень часу, тому для генерації сигналів необхідно визначити інтервал часу і крок тимчасової дискретизації. Генерація тимчасового сигналу складається з двох етапів - завдання вектора (масиву) часу і обчислення значень функції для цього масиву часу.
Генерація тимчасових функцій
Приклади завдання масиву часу в мові МАТЛАБ (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Команда МАТЛАБ |
Коментарі |
>> t=0:0.1:1; |
% Час в інтервалі від 0 до 1с з кроком 0,1 с |
>>fs=1000; t=0:1/fs:10; |
% Сигнал з частотою дискретизації 1 кГц в інтервалі часу від 0 до 10 с |
>>To=1;Tk=100;Ts=1; >>t=To:Ts:Tk; |
% Час в інтервалі від 1 до 100 с з кроком 1 с |
Приклади завдання безперервних функцій часу в мові МАТЛАБ (табл. 3.2).
Таблиця 3.2
Команда МАТЛАБ |
Коментарі |
>> t=0:0.1:1;fi=pi/4;omega=2*pi*100; >> x1=cos(omega*t+fi); plot(x1); |
% Гармонійний сигнал з початковою фазою 45 град і частотою 100 Гц |
>>alpha=1000; t=0:1/fs:10; >> x2=exp(-alpha*t); plot(t,x2); |
% Сигнал з частотою дискретизації 1 кГц в інтервалі часу від 0 до 10 с |
Приклади завдання кусочно-безперервних функцій часу в мові МАТЛАБ (табл. 3.3).
Таблица 3.3
Команда МАТЛАБ |
Коментарі |
>> t=0:0.1:10; >> x1=1.* (t>1); plot(t,x1); |
% Сигнал "сходинка" з моменту часу 1с |
>>al=1000; t=0:1:10;T=5; >> x2=al*t/T.*(t>0).*(t<T); plot(t,x2); |
% Сигнал трикутної форми на інтервалі 5с |
Генерація одиночних імпульсів (табл. 3.4)
Таблица 3.4
Команда МАТЛАБ |
Коментарі |
>> t=0:0.1:10; T=1; >> x=rectpuls(t,T); plot(t,x); |
% Сигнал - прямокутний імпульс на інтервалі часу 0,5 с |
>> t=0:1:10;T=5;skew=1; >> x2=tripuls(t,T, skew); plot(t,x2); |
% Сигнал - трикутний імпульс на інтервалі часу 5 з з вершиною в точці 2,5с |
>> t=-10:0.1:10; >> x=sinc(t/pi); plot(t,x); |
% сигнал обмеженою смугою частот на інтервалі часу 20 с |
>> t=-10:0.1:10;fc=1000;bw=0.5;bwr=-6; >> x=gauspuls(t,fc,bw,bwr); plot(t,x); |
% Гауссовский радіоімпульс з параметрами: FC - несуча частота; мт - відносна ширина спектра (ширина спектра, поділена на несучу); BWR - рівень в децибелах відносної ширини спектра |
Генерація періодичних сигналів (табл. 3.5)
Таблица 3.5
Команда МАТЛАБ |
Коментарі |
>> T=1;Tf=10;Ts=0.01; >>[x,t]=gensig(‘sin’,T,Tf,Ts); plot(t,x); |
% Гармонійний сигнал на інтервалі часу 10 з з періодом 1 с і частотою квантування 100 Гц |
>> T=1; Tf=10;Ts=0.01; >>[x,t]=gensig(‘square’,T,Tf,Ts); plot(t,x); |
% Періодичний прямокутний біполярний сигнал на інтервалі часу 10 з з періодом 1 с і 100 частотою квантування Гц
|
>> T=1; Tf=10;Ts=0.01; >>[x,t]=gensig(‘pulse’,T,Tf,Ts); plot(t,x); |
% Періодичний прямокутний однополярний сигнал на інтервалі часу 10 з з періодом 1 с і частотою квантування 100 Гц
|
Закінчення табл. 3.5
Команда МАТЛАБ |
Коментарі
|
>> t=0:0.001:10;f0=1;f1=100;t1=10; >>x=chirp(t,f0,t1,f1); plot(t,x); |
% Гармонійний сигнал з частотою, що змінюється на інтервалі часу 10 з від 1 до 100 Гц Гц |
>> t=0:0.001:10;dyt=50; >>x=square(t,dyt); plot(t,x); |
% Послідовність прямокутних біполярних імпульсів, DYT - відношення тривалості імпульсу до періоду у відсотках |
Генерація випадкових сигналів (табл. 3.6)
Таблица 3.6
Команда МАТЛАБ |
Коментарі |
>>n=100;x=rand(1,n);plot(x); |
% Випадковий дискретний сигнал з рівномірним розподілом в інтервалі (0;1) |
>>n=100;x=randn(1,n);plot(x); |
% Випадковий дискретний сигнал з нормальним розподілом (среднє – 0, дисперсія – 1) |
>> n=25;hist(x,n) |
% побудова гістограми по 25 інтервалах
|