Отделение корней способом половинного деления

В данном способе область определения функции f(x), x [a,b] делят на 2,4,8,16,32,… интервала и для каждого из них анализируют знаки функции на концах интервала: если знаки противоположные, то внутри интервала находится не менее одного корня, если при этом , то внутри интервала находится точно один корень.

В данной лекции рассматриваются только однократные (простые) вещественные корни нелинейного уравнения (1).

Если уравнение (1) является алгебраическим уравнением целой степени (т.е. f(x) – многочлен n-ой степени)

, (3)

То при отделении корней уравнения (2) полезно использовать теоремы общей алгебры:

- основная теорема алгебры;

- теорема Декарта;

- теорема Гюа.

Содержание этих теорем заключается в следующем:

1.Основная теорема алгебры. Число корней уравнения (2) (действительных, кратных, комплексных) в точности равно n – степени уравнения (2), причем если коэффициенты a₀,a₁,…,a_n все действительные, то возможные комплексные корни попарно сопряжены.

2. Теорема Декарта. Число положительных действительных корней уравнения (2) равно числу перемен знаков последовательности коэффициентов a₀,a₁,…,a_n (не считая нулевых коэффициентов) или меньше этого числа на четное число.

Следствие. Число действительных отрицательных корней уравнения (2) равно числу постоянства знаков в последовательности коэффициентов a₀,a₁,…,a_n , не считая нулевых, или меньше этого числа на четное число.

3. Теорема Гюа. Если все корни уравнения (2) действительны, то в последовательности коэффициентов a₀,a₁,…,a_n квадраты не крайних коэффициентов больше произведения соседних, т.е.

, k=1,2,…,n-1. (2а)

Следствие. Если хотя бы для одного не крайнего коэффициента условие (2а) не выполняется, т.е.

,

то имеется хотя бы одна пара комплексных корней.

3.3. Методы уточнения корней

Имеем: для уравнения (1) на интервале (a,b) отделен корень . Требуется уточнить отделенный корень с ошибкой, определяемой заданной величиной .

Рассмотрим четыре метода уточнения отделенных корней.

3.3.1. Метод половинного деления

Имеем: f(x)=0, (a,b), где - точное значение корня,

а) f(x) – непрерывна на отрезке [ab],

б) f(a)· f(b)< 0.

Метод половинного деления состоит в построении путем деления пополам последовательности вложенных отрезков

[a_k,b_k] [a_k-1b_k-1] [a₀,b₀ ] [a,b], на концах которых удовлетворяются условия f(a_k)·f(b_k)<0, k=1,2,…, а вложенные отрезки определяются делением предыдущего отрезка пополам.

Рис. 2. К методу половинного деления

В соответствии с Рис.2 имеем:

1) , вычисляется , если

2, иначе процесс деления продолжается:

2) , вычисляется , если

2 2², иначе процесс деления продолжается:

………………………………………………………………………….

k) , вычисляется , если 2 2^k, иначе процесс деления продолжается k=1,2,3,… .

Очевидно:

Таким образом, метод половинного деления сходится к , как геометрическая прогрессия со знаменателем равным 1/2.

Достоинства: 1) прост в алгоритмизации и программировании;

2) на функцию f(x) не накладываются ограничения, кроме ее непрерывности.

Недостаток: метод медленно сходится! - сходимость первого порядка

На практике итерационный процесс останавливается при выполнении неравенства:

а результатом является .