Тема 1. Численные методы алгебры Лекция 3. Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений

Цель: изучить систематизированную основу теоретических знаний по численным методам решения нелинейных и трансцендентных уравнений.

Учебные вопросы:

3.1. Постановка задачи. Основные определения из алгебры нелинейных и трансцендентных уравнений.

3.2. Способы отделения корней.

3.3. Методы уточнения корней.

Литература к лекции 3:

[1], c.50…69; [2]2, c.30…42; [3], c.42…46.

3.1. Постановка задачи. Основные определения из алгебры нелинейных и трансцендентных уравнений.

Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, называется трансцендентным уравнением.

Простейшими трансцендентными уравнениями являются показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

Под алгебраическими преобразованиями уравнения F=0 понимают следующие преобразования:

1) прибавление к обеим частям уравнения одного и того же алгебраического выражения;

2) умножение обеих частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение;

3) возведение обеих частей уравнения в рациональную степень.

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

Р_n=0,

где Р_n – многочлен n-ой степени от одной или нескольких переменных.

Трансцендентная функция – функция, не являющаяся алгебраической функцией.

Трансцендентное уравнение – уравнение, содержащее неизвестное в аргументе некоторой трансцендентной функции, например: .

Алгебраическая функция – : 1. Функция от одного переменного , удовлетворяющая алгебраическому уравнению , где F – полином от двух переменных.

2.Функция от n переменных , удовлетворяющая алгебраическому уравнению , где F – неприводимый полином от n+1 переменных.

Рассмотрим нелинейное уравнение одной независимой переменной x,

f(x)=0, x [a,b], (1)

где f(x) – любая нелинейная или трансцендентная функция, например, .

Нахождение корней уравнения (1) производится в два этапа:

1. Отделение корней – это нахождение таких интервалов по аргументу x, внутри каждого из которых существует только один корень уравнения (1).

2. Уточнение корней заключается в применении некоторого итерационного метода, в результате которого корень уравнения (1) может быть получен с любой наперед заданной точностью ε.