1. Ускорение точки

При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.

Пусть точка М (рис. а) движется по какой-то криволиней­ной траектории и за время Δt переходит из положения М в поло­жение M₁. Расстояние, пройденное точкой, представляет собой дугу ММ₁, ее длину обозначим Δs. В положении М точка имела скорость , в положении М₁ — скорость ₁. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор ₁

На рис. 119, а приращение скорости изображается вектором .

Скорость точки при перемещении ее из положения М в поло­жение М₁ изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение ско­рости, можно найти, разделив вектор приращения скорости на соответствующее время движения

_ср =

Переходя к пределу при Δt → 0, получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости

= = 8

Найденное ускорение характеризует изменение численного зна­чения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскла­дывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касатель­ной и нормали к траектории движения (рис. 119, б)

= _t + _n 9

Касательная составляющая _t совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение

модуля скорости и соответственно определяется как производная от функции скорости

a_t = =dv/dt

Нормальная составляющая а_п перпендикулярна к направлению скорости точки. Она определяет изменение направления вектора скорости. Численное значение нормального ускорения определяет­ся по формуле

а_п = v²/r,

где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Составляющие a_t и а_п взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускорения определяется по формуле

a = ²_t +a ²_n

1. Виды движения точки в зависимости от ускорения

Рассмотрим возможные случаи движения точки и проанализи­руем выведенные выше формулы для касательного и нормального ускорений.

Равномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что скорость движения точки М постоянна (v = const), а ра­диус кривизны траектории ее движения равен бесконечности. В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как модуль скорости не изменяется (v = const),

a_t= d_v/ d_t= 0.

Нормальное ускорение также равно нулю (r = ∞)

а_п = v²/r = 0.

Значит, и полное ускорение движения точки равно нулю а^→ = 0

Равномерное криволинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости постоянно (v = const), ско­рость меняется лишь по направлению. В этом случае касатель­ное ускорение равно нулю, так как v = const

a_t= d_v/ d_t= 0.

а нормальное ускорение не равно нулю (a_n= v²/r ≠ 0), так как r — конечная величина.

Полное ускорение при равномерном криволинейном движении равно нормальному ускорению, т. е.

а^→ = а^→_п

Неравномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости движения точки изменяется (v ≠ const), а радиус кривизны траектории движе­ния точки г равен бесконечности (r = ∞). Поэтому касательное ускорение здесь не равно нулю

a_t= d_v/ d_t ≠ 0.

а нормальное ускорение равно нулю

а_п = v ²/r = 0 (r = ∞).

Следовательно, полное ускорение точки при неравномерном пря­молинейном движении равно касательному ускорению, т. е.

а^→ = a^→_t

Неравномерное криволинейное движение - характери­зуется тем, что численное значение скорости движения точки М изменяется (v ≠ const), а радиус кривизны траектории ее движе­ния — конечная величина. В этом случае касательное ускорение не равно нулю

a_t= d_v/ d_t ≠ 0.

и нормальное ускорение также не равно нулю

а_п = v ²/r ≠ 0

Следовательно, полное ускорение при неравномерном криво­линейном движении складывается геометрически из касательного и нормального ускорений a^→ = a_t^→ + a_n^→ а = √а_t² + a_n²

Когда значение касательного ускорения постоянно (a_t = const), движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-за­медленным, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается численное значение скорости. Ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного проме­жутка времени

а_t = v – v₀ / t

откуда

v = v₀ + a_t t,

При равномерно-ускоренном движении ускорение a_t считается положительным, а при равномерно-замедленном — отрицатель­ным.

Перемещение точки при равнопеременном движении опреде­ляется по уравнению

Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела. Ускорение свободного падения обозна­чается буквой g. Опытом установлено, что это ускорение составляет вблизи поверхности Земли в среднем 9,81 м/с².

v0= 0	v0 ≠ 0
at = v/t [м/с2]	at = v – v0 /t [м/с2]
v =at * t[м/с]	v =v0 + at * t [м/с]
S = at * t2 / 2[м]	S = v0 * t + at * t2 / 2[м]
S = vср * t = v/2 * t[м]	S = vср * t = v0 + v /2 * t[м]

Пример 1. Ускорение движения поезда, движущегося с уменьшением скорости, равно 0,16 м/с². Определить время, за которое скорость поезда уменьшится с 50 до 25 км/ч

Дано: a = - 0,16 v/c²

v₀ = 50 км/ч = 50:3,6 = 13,9м/с

v = 25км/ч = 25 :3,6 = 6,9м/с

Определить t

Решение: v =v₀ + a_{t *} t =>

t = v – v₀ /a_t = 6,9 – 13,9 _/ - 0,16 = -7_/ -0,16 = 43 c

Пример 2. Водитель автомобиля движется со скоростью 72 км/ч увидел красный сигнал светофора начал торможение с ускорением 5 м/с², на каком пути авто остановится.

Дано: v₀ = 72 км/ч = 72:3.6 =20 м/c

v₁ = 0

a_t = -5м/с²

Определить S

Решение: a_t = v – v₀ /t =>

t = v – v_{0 /} a_t = 0-20_/ -5= 4c S = v₀ + v_/ 2_* t = 20+0_/ 2 _* 4 = 40м