7. Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Если тело вращается вокруг оси, то его точки перемещаются по окружностям (рис. а), радиусы которых г равны расстоя­ниям точек от оси вращения.

Рассмотрим точку М, которая за время dt прошла путь ds = ММ₁. В данном случае путь ds можно определить как произве­дение угла поворота на радиус окружности, т. е.

ds = r _* dφ. 10

Линейная скорость определится как производная пути по вре­мени

v = ds/dt

Подставив вместо ds его значение по (10), получим

v = ds/dt = d(rφ)/dt = r_* dφ/dt = rω 11

Подставив в формулу для линейной скорости точек тела, вра­щающегося вокруг неподвижной оси, значение частоты вращения в оборотах в минуту (об/мин), получим

v = r =

Касательное ускорение точки вращающегося тела определяется из выражения

a_t = dv/dt = d(rω)/dt = r _* dω/dt = rε

Нормальное ускорение точки равно отношению квадрата ско­рости к радиусу окружности

a_n = v²/r

Подставив в выражение нормального ускорения а_п = v ² / r зна­чение скорости v = ωr, получим

a_n = v²/r = (ωr)²/r = rω²

Значение полного ускорения вычисляется как диагональ прямоугольника, построенного на составляющих ускорениях a_t и а_п (рис. б). Подставив значения касательного и нормального ускорений, получим

Направление вектора полного ускорения точки вращающегося тела можно определить по углу а, образованному этим вектором с радиусом

8. Понятие о плоско параллельном движении твердого тела

В случае плоскопараллельного движения все точки тела, рас­положенные на прямой, перпендикулярной к определенной непод­вижной плоскости I (рис.), совершают одинаковое движение. Поэтому изучение плоскопараллельного движения твердого тела может быть сведено к изучению движения плоской фигуры, обра­зованной сечением тела плоскостью //, параллельной неподвижной плоскости /, при условии, что расстояние между пло­скостями I u II постоянно (рис.).

Примером плоскопараллельного дви­жения могут служить движение шатуна кривошипно-шатунного механизма, дви­жение- колеса на прямолинейном участке пути и др.

Рассмотрим перемещение плоской фи­гуры на рис. из положения I в поло­жение II.

Положение плоской фигуры на (рис. a) определяется отрез­ком M₁B₁. Этот отрезок можно переместить из положения I в по­ложение II следующим образом: перенести его параллельно са­мому себе в положение M₂B^/₂ (при этом фигура совершит посту­пательное перемещение), а затем повернуть отрезок вокруг точки М₂ против часовой стрелки на угол φ (фигура при этом совершит вращательное движение и займет положение II). Можно посту­пить иначе: сначала сообщить фигуре поступательное перемещение до положения отрезка В ₂М ^/₂, а затем повернуть вокруг точки В₂ против часовой стрелки опять на угол φ.

Точку, вокруг которой фигура совершает поворот, называют полюсом. В первом случае полюсом была точка М₂, во втором — В₂. Очевидно, что за полюс может быть принята произвольная точка фигуры.

Итак, плоскопараллельное движение можно разложить на два составляющих движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное вокруг этого полюса. Поступательная часть плоскопараллельного движения зависит от выбора полюса. Как видно из (рис. а,) поступательное перемещение M₁M₂ при выборе за полюс точки М₂ не равно поступательному переме­щению В₁В₂ при выборе за полюс точки В₂.

Рассматривая вращательную часть плоскопараллельного дви­жения, нетрудно установить, что угол поворота не зависит от выбора полюса.

Разложение плоскопараллельного движения можно исполь­зовать для определения скоростей точек тела. Так как плоскопа­раллельное движение фигуры может быть представлено как сумма двух движений — поступательного и вращательного, то скорость любой точки тела (рис. б) равна геометрической сумме: скорости v_M движения полюса М и скорости вращательного движе­ния v_BM вокруг полюса М

v_B = v_M + v_BM.

Скорость вращательного движения определяется по формуле

v_BM = ω MB,

где ω — угловая скорость вращения; MB — радиус вращения точки В относительного полюса М.

Скорость вращательного движения v_BM направлена перпенди­кулярно к радиусу вращения MB. Так как вращательная часть движения не зависит от выбора полюса, то угловая скоростью называется угловой скоростью плоской фигуры.

В плоскости движущейся фигуры при плоскопараллельном движении в данный момент времени всегда есть точка, скорость которой равна нулю. Действительно, примем за полюс точку В(рис. в), восстановим из нее перпендикуляр к вектору скорости v_B и отложим на этом перпендикуляре отрезок ВС = v_B/ωв сторону, где относительные вращательные скорости направлены противоположно скорости выбранного полюса v_B. Абсолютная скорость точки С определится как геометрическая сумма двух рав­ных и противоположно направленных векторов: скорости поступательного движения v_B и скорости вращательного движения v_CB,причем

v_CB = ω ВС = ω _* v_B/ω = v_B.

Таким образом, абсолютная скорость точки С равна нулю. Эта точка С называется мгновенным центром скорости или мгно­венным центром вращения плоской фигуры. Если эту точку С принять за полюс, то скорость произвольной точки М (рис. в) определится по формуле

v_m = v_c + v_MC,

но v_c = 0 и v_M = v_MC, или v_M = ωМС, т. е. скорость любой точки плоской' фигуры определяется как вращательная относи­тельно мгновенного центра скоростей.

При определении мгновенного центра скоростей возможны сле­дующие три случая:

1-й случай. Известны направления скоростей двух то­чек тела А и В. Мгновенный центр скоростей располо­жен на пересечении перпендикуляров, восставленных из точек к векторам их скоростей (рис. а).

2- й случай. При перекатывании тела без скольжения по неподвижной поверх­ности мгновенный центр скоростей на­ходится в точке Р касания катящейся фигуры с поверхно­стью (рис. б).

3-й случай. Если скорости двух точек А и В параллельны между собой и од­новременно перпен­дикулярны к линии, соединяющей эти точки, то мгновенный центр лежит на пере­сечении линий, соединяющих данные точки и концы их скоростей (рис. в, г).

и нормальное ускорение также не равно нулю

а_п = v ²/r ≠ 0

Следовательно, полное ускорение при неравномерном криво­линейном движении складывается геометрически из касательного и нормального ускорений, т. е.

a^→ = a_t^→ + a_n^→ а = √а_t² + a_n²

Когда значение касательного ускорения постоянно (a_t = const), движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-за­медленным, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается численное значение скорости. Ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного проме­жутка времени

а_t = v – v₀ / t

откуда

v = v₀ + a_t t,

При равномерно-ускоренном движении ускорение a_t считается положительным, а при равномерно-замедленном — отрицатель­ным.

Перемещение точки при равнопеременном движении опреде­ляется по уравнению

Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела. Ускорение свободного падения обозна­чается буквой g. Опытом установлено, что это ускорение составляет вблизи поверхности Земли в среднем 9,81 м/с².

v0= 0	v0 0
at = v/t [м/с2]	at = v – v0 /t [м/с2]
v =at * t[м/с]	v =v0 + at * t [м/с]
S = at * t2 / 2[м]	S = v0 * t + at * t2 / 2[м]
S = vср * t = v/2 * t[м]	S = vср * t = v0 + v /2 * t[м]