3. Скорость точки

Рассмотрим некоторые основные определения, важные для последующего изложения. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение назы­вается равномерным.

Скорость равномерного движения v измеряется отношением пути s, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени

v = s/t. 4

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ee движение называется неравномерным.

Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени

v = f (t). 5

Рассмотрим точку М, которая перемещается по заданной траек­тории по некоторому закону s = f (t). За промежуток времени Δt точка М переместится в положение М₁ по дуге ММ₁. Если промежуток времени Δt мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движе­ния точки

v _ср = Δs/Δt

Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке М₁. Если постепенно уменьшать промежуток времени Δt , то уменьшается и пройденный путь Δs, т. е. в пределе при Δt → 0 значение средней скорости приближается к значению скорости в заданный момент t т. е. истинную скорость найдем путем перехода к пределу при Δt →0

v = lim Δs/Δt = ds/dt 6

∆t→0

При Δt → О направление хорды в пределе совпадает с направ­лением касательной к траектории в точке М, т. е. значение ско­рости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление:

7

4. Ускорение точки

При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением v ≠ const.

Пусть точка М (рис. а) движется по какой-то криволиней­ной траектории и за время Δt переходит из положения М в поло­жение M₁. В положении М точка имела скорость v, в положении М₁ — скорость v₁. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор v₁

На рис. 119, а приращение скорости изображается вектором ∆v.

Скорость точки при перемещении ее из положения М в поло­жение М₁ изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение ско­рости, можно найти, разделив вектор приращения скорости ∆v на соответствующее время движения

a_ср = ∆v/∆t

Переходя к пределу при Δt → 0, получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости

a = lim Δv/Δt = dv/dt 8

∆t→0

Найденное ускорение характеризует изменение численного зна­чения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскла­дывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касатель­ной и нормали к траектории движения (рис. 119, б)

a = a_t +a _n 9

Касательная составляющая a_t совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение скорости по величине и соответственно определяется как производная от функции скорости

a_t = lim Δv/Δt = dv/dt [м/с²]

∆t→0

Нормальная составляющая а_п перпендикулярна к направлению скорости точки. Она характеризует изменение скорости по направлению (она всегда есть при любом криволинейном движении). Вектор a_n всегда направлен к центру кривизны траектории. Численное значение нормального ускорения определяет­ся по формуле

а_п = v²/r [м/с²]

где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Составляющие a_t и а_п взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускорения определяется по формуле

a =√ a²_t +a ²_n