4. Последовательность испытаний
Пусть
заданы
множеств
,
,
…,
,
содержащих, вообще говоря, различное
число элементов. Составим из элементов
этих множеств
(
)
цепочки вида (
,
,
…,
).
Множество всех таких цепочек
называется прямым
произведением множеств
,
,
…,
и обозначается
Число
элементов прямого произведения множеств
равно произведению числа элементов
составляющих множеств, т. е.
.
В случае, если
,
число элементов прямого произведения
множеств
.
Пусть
каждое из множеств
является множеством элементарных
исходов некоторого эксперимента
.
Тогда составной эксперимент, состоящий
в проведении последовательно экспериментов
,
,
…,
и наблюдении совместного результата,
имеет множество элементарных исходов
и называется последовательностью
испытаний.
Элементарные
вероятности
для последовательности зависимых
испытаний определяются через условные
вероятности:
=
.
Если условные вероятности
зависят только от результата последнего
испытания, т. е.
,
то последовательность испытаний называют
цепью Маркова.
5. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли
Если события, связанные с различными испытаниями, являются причинно-независимыми, то вышеописанный составной эксперимент называется последовательностью независимых испытаний. В математической модели такой последовательности соответствующие события должны быть независимы и в теоретико-вероятностном смысле.
Последовательность независимых испытаний иногда называют схемой независимых испытаний или полиномиальной схемой.
Пусть
в каждом независимом испытании может
наступить один из
исходов, причем их вероятности не зависят
то номера испытания (однородная
схема). Вероятность
того,
что в
испытаниях полиномиальной схемы исход
«1» наступил
раз, исход «2» –
раз, …, исход «r»
–
раз, будет тогда определяться равенством
(полиномиальной формулой)
,
(15)
где
–
вероятность
-го
исхода в отдельном испытании
;
,
,
…,
– целые неотрицательные числа,
удовлетворяющие равенству
+
+
…+
=
.
Пример. Найти вероятность того, что среди 20 случайно выбранных цифр имеется ровно 10 четных цифр, две «тройки» и три «семерки».
◄ Для
вычисления искомой вероятности данный
опыт представим как последовательность
20 независимых испытаний, в каждом из
которых возможно появление одного из
четырех исходов: 1 – четная цифра, 2 –
тройка, 3 – семерка, 4 – все остальное.
Вероятности этих исходов равны
соответственно
,
,
(
).
По формуле (15) получим
.►
На
практике часто приходится рассматривать
последовательности с двумя исходами
(
):
прибор за рассматриваемый период времени
работал нормально или отказал; изделие
оказалось годным или дефектным; на
лотерейный билет получен выигрыш или
нет и т. д.
Частный
случай последовательности независимых
испытаний, в котором каждое испытание
может закончиться одним из двух исходов,
называют схемой
Бернулли.
Обычно один из этих исходов условно
называют «успехом» (исход
),
а другой – «неудачей» (исход
),
а их вероятности обозначают
(
)
и
соответственно. Для схемы Бернулли
часто представляет интерес событие
={в
испытаниях наступило ровно
успехов}. Вероятность этого события
определяется формулой (формулой
Бернулли)
,
(16)
которая
получается из формулы (15), если положить
,
,
.
В частности, вероятность того, что
событие
(«успех») произойдет во всех
испытаниях,
,
а вероятность того, что он не произойдет
ни разу,
.
Пример. Система, состоящая из 10 блоков, сохраняет работоспособность, если за рассматриваемый период времени выйдет из строя не более двух блоков, Найти вероятность безотказной работы системы в предположении, что отказы блоков являются независимыми событиями и вероятность отказа каждого блока равна 0,1.
◄ В
качестве модели используем схему
Бернулли с 10 испытаниями. Каждое испытание
заключается в работе одного из блоков
за рассматриваемый период. Назовем
«успехом» выход блока из строя. Нас
интересует событие
={система
работает безотказно}. Тогда
,
где
={из
строя вышло
блоков}. Используя формулу (16), получим
.►
Вероятность
,
определяемая формулой (16), есть функция
целочисленного аргумента
.
Поведение этой функции следующее: она
в начале при возрастании
возрастает, достигает максимума, а затем
убывает. Наиболее
вероятное число успехов
(наивероятнейшее
число)
(т. е. число, для которого
для всех
=0,
1, 2, …,
)
находится из двойного неравенства
.
Пример. В схеме Бернулли вероятность исхода («успеха») равна 3/5. Найти число наступлений исхода , имеющего наибольшую вероятность, если число испытаний равно а) 19, б) 20.
◄ При
=19
имеем
,
а
.
Таким образом, максимальная вероятность
достигается при двух значениях
,
равных 11 и 12.
При
=20
находим
,
а
.
Поскольку
не является целым числом, то будем иметь
единственное максимальное значение
вероятности при
=12,
которое больше
,
но меньше
.
►