2. Формула полной вероятности
Пусть
– наблюдаемые события для данного
опыта, причем система множеств {
}
образует разбиение множества элементарных
исходов
этого опыта, т. е. выполняются следующие
условия:
,
при любых
,
1,
2, …,
.
Для любого наблюдаемого в опыте события
имеет место следующая формула (формула
полной вероятности):
.
(13)
События
принято называть
гипотезами
по отношению к событию
.
Безусловные вероятности
,
для которых должно выполняться равенство
,
трактуются как априорные
(доопытные)
вероятности гипотез. Для вычисления
вероятности интересующего нас события
по формуле (13) важно удачно подобрать
набор гипотез. Если зависимость события
от гипотез
неясна и условные вероятности
не могут быть просто вычислены, то такое
разбиение не принесет практической
пользы при решении задачи.
Пример. Партия изделий, среди которых 5% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживается дефект (если он есть) и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что годное изделие будет признано дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранное из партии изделие будет признано дефектным.
◄ Нас
интересует событие
={случайно
выбранное изделие признано дефектным}.
С этим событием тесно связаны две
гипотезы:
={поступившее
на проверку изделие дефектно},
={поступившее
на проверку изделие годно}. Безусловные
априорные вероятности этих гипотез
равны
,
.
Условные вероятности заданы в условии
задачи:
,
.
По формуле полной вероятности получаем
.
►
3. Формула полной вероятности
Пусть
{
}
– разбиение множества элементарных
исходов для данного опыта, интерпретируемое
как совокупность гипотез по отношению
к интересующему нас событию
.
Пусть опыт проведен, и стало известно,
что событие
осуществилось, Какова апостериорная
(послеопытная)
вероятность наступления гипотезы
при условии, что событие
имело место? Ответ дается формулой
Байеса:
,
(14)
которая является следствием формулы полной вероятности (13).
Формулу
Байеса иногда называют формулой
гипотез. Она
позволяет «переоценить» вероятность
каждой из гипотез после поступления
новой информации относительно наступления
тех или иных наблюдаемых событий. Формула
Байеса может служить также для принятия
решений в
тех случаях, когда гипотезы
непосредственно не наблюдаемы, хотя
априорные вероятности
и соответствующие условные вероятности
,
=1,
2, …,
известны из дополнительных опытов.
Пример. В условиях предыдущего примера случайно выбранное из партии изделие было признано дефектным. Какова вероятность того, что на самом деле изделие годно?
◄ В
обозначениях предыдущего примера
требуется найти
(апостериорную условную вероятность
гипотезы
).
По формуле Байеса имеем
.
Таким образом, апостериорная условная
вероятность того, что изделие на самом
деле годное, если известно, что оно было
признано дефектным, существенно меньше
априорной вероятности гипотезы
,
что явилось следствием поступившей
информации. ►
Пример. Из урны, содержащей 4 белых и 9 черных шаров, один шар неизвестного цвета был утерян. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из урны после утери, окажется белым? Какова вероятность того, что утерян черный шар, если после утери извлечен белый шар?
◄ Нас
интересует событие
={шар,
извлеченный из оставшихся шаров, белый}.
Выберем следующие гипотезы:
={утерян
белый шар},
={утерян
черный шар}. В силу формулы классической
вероятности
,
,
,
.
По формуле полной
.
Отметим, что вероятность извлечения
белого шара из урны до утери также равна
.
Для нахождения апостериорной условной
вероятности гипотезы
используем формулу Байеса:
.►