3. Поток векторного поля. Формула Гаусса-Остроградского

Пусть в области задано некоторое векторное поле , где – непрерывно дифференцируемые в области функции. Пусть – гладкая ориентированная поверхность, на которой выбрана одна из сторон, задаваемая единичным вектором нормали* ( –направляющие косинусы этого вектора).

Потоком векторного поля через поверхность называется поверхностный интеграл

. (4.16)

Поверхностный интеграл 1-го рода в формуле (4.16) может быть выражен через поверхностный интеграл 2-го рода:

, (4.17)

что дает еще один способ вычисления потока.

Понятие потока вектора взято из гидродинамики. В гидродинамике рассматривается векторное поле скорости текущей жидкости . Поток этого векторного поля дает объем жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени.

Если – замкнутая поверхность, являющаяся границей тела , то имеет место формула Гаусса – Остроградского:

, (4.18)

(интеграл от дивергенции векторного поля по некоторому объему равен потоку этого поля через поверхность , ограничивающую данный

объем). Эта формула часто используется для вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность.

*) Нормаль к поверхности в некоторой ее точке – прямая, проходящая через и перпендикулярная к касательной плоскости в этой точке.

Формула Гаусса – Остроградского позволяет выразить следующей формулой:

= , (4.19)

которую правильнее всего и считать определением понятия дивергенция: дивергенция вектора в данной точке поля есть предел, к которому стремится отношение потока вектора через произвольную, окружающую эту точку, поверхность к величине ограниченного этой поверхностью объема (при ).

Формула (4.19), определяющая дивергенцию, в гидродинамике имеет непосредственный физический смысл: дивергенция скорости жидкости = равна рассчитанному на единицу объема количеству жидкости, вытекающей в единицу времени из элемента объема , окружающего рассматриваемую точку. Название «дивергенция», что значит по-латыни расхождение или расходимость, было выбрано для этой величины именно потому, что жидкость растекается или расходится из тех и только из тех точек или участков занимаемого ею пространства, в которых .Очевидно, что в этих точках должны быть расположены источники жидкости. По аналогии, те точки произвольного векторного поля , в которых , принято называть истоками этого поля. Численная же величина называется силой, или обильностью, истоков поля; в зависимости от знака дивергенции сила истоков может быть как положительной, так и отрицательной. Иногда отрицательным истокам поля дают название стоков поля. Векторные поля, у которых , называются свободными от источников, или соленоидальными (трубчатыми).

Пример. Вычислить поток векторного поля через часть плоскости, заданной уравнением , расположенную в октанте , если единичный вектор нормали к рассматриваемой поверхности образует острый угол с осью .

◄ Вычислим поток при помощи формулы (4.17). Учитывая, что для данного векторного поля , будем иметь . Последний интеграл вычислим сведением его к двойному по области (рис.2), являющуюся проекцией поверхности на плоскость . Так как единичная нормаль образует с осью тупой угол (это очевидно из рис. 2) и, следовательно, , перед двойным интегралом необходимо

Рис. 2

поставить знак минус: =

. ►

Пример. Положительный электрический заряд , помещенный в начале координат, создает векторное поле, напряженность которого в каждой точке пространства определяется законом Кулона: , где – постоянный коэффициент, величина которого зависит от выбора системы единиц измерения, – радиус-вектор точки пространства. Найти поток этого векторного поля через сферу радиуса с центром в начале координат.

◄ Так как , будем иметь =

= . Скалярное произведение в последнем интеграле равно 1, т. к. единичные векторы и в каждой точке сферы совпадают. Следовательно, (площадь поверхности (сферы)). Окончательно, поток . ►