Тема 22. Векторное поле и его поток через поверхность. Дивергенция и ротор

1. Векторное поле. Дивергенция и ротор векторного поля

Векторным полем называется область пространства, каждой точке которого отнесен некоторый вектор. Задание векторного поля эквивалентно заданию некоторой векторной функции (вектор-функции)

. (4.4)

Плоским векторным полем называется вектор-функция

, где . (4.5)

Векторными линиями векторного поля называются линии, касательные к которым в каждой их точке совпадают с направлением векторного поля. Векторные линии поля называют также силовыми линиями или линиями тока.

Дивергенцией (расходимостью) векторного поля называется скалярное поле, определяемое равенством

. (4.6)

Ротором векторного поля называется векторное поле, определяемое следующим образом:

. (4.7)

Удобной является следующая формальная запись ротора:

, (4.8)

где «умножение» символов дифференцирования на одну из функций понимается как взятие соответствующей частной производной этой функции.

Название «ротор» происходит от латинского roto–вращаю. Поводом для такого названия послужило то, что как для твердых, так и для произвольно деформирующихся тел (например, жидкости) ( – линейная скорость точки тела) только в тех точках тела, которые находятся во вращательном движении (при этом , где – угловая скорость вращения).

Ротор векторного поля называют иногда вихрем векторного поля.

Пример. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля .

◄ Дивергенция определяется формулой (4.6). Имеем: , , , , =

Вычисляем ротор данного векторного поля :

= =

= . ►

2. Потенциальные и соленоидальные поля

Векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля , т. е.

, (4.9)

при этом функция называется потенциалом этого векторного поля.

Векторное поле потенциально тогда и только тогда, когда , т. е. поле является безвихревым.

Для потенциального поля с потенциалом выполняются равенства , , и, следовательно, криволинейный интеграл второго рода

(4.10)

не зависит от формы кривой, соединяющей точки и . В случае замкнутого контура интегрирования, когда точки и совпадают,

, (4.11)

т. е. циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Если поле является потенциальным, то его потенциал может быть найден путем решения системы уравнений с частными производными:

(4.12)

Потенциал произвольной точки можно также найти при помощи формулы (4.10) интегрированием по некоторому пути , фиксируя точку . При этом, учитывая независимость этого интеграла от формы пути, путь выбирают в виде ломаной линии, вдоль каждого звена которой изменяется лишь одна координата, а две остальных остаются постоянными.

Пример. Показать, что векторное поле потенциально и найти его потенциал.

◄ Для данного поля , , . Вычисляем = 0. Так как , делаем вывод, что поле потенциально. Найдем его потенциал при помощи формулы (4.10).

Фиксируя точку , рассмотрим произвольную точку . Тогда

.

Учитывая независимость интеграла от формы пути, линию интегрирования выберем в виде ломаной , где отрезок параллелен оси , отрезок ― оси , а отрезок ― оси . Вдоль имеем и , и, следовательно, ; вдоль переменная постоянна и , откуда ; вдоль две переменные и постоянны и, следовательно, . Тогда

.

Таким образом, . ►

Векторное поле называется соленоидальным, если оно является ротором некоторого векторного поля , т. е.

. (4.13)

Поле называется векторным потенциалом поля .

Векторное поле соленоидально в том и только в том случае, когда

.

Пример. Показать, что векторное поле соленоидально.

◄ Для данного поля , , . Вычисляем . Так как , делаем вывод, что поле соленоидально. ►

Операторы Гамильтона и Лапласа

Оператор Гамильтона или оператор (набла) определяется формулой

. (4.14)

Применение этого оператора к скалярным и векторным полям соответствует формальным операциям «умножения» соответствующих полей на вектор с координатами :

;

;

.

Учитывая, что стоящие в правых частях последних трех равенств выражения есть соответственно градиент, дивергенция и ротор полей, имеем:

; ; .

Оператор Лапласа определяется формулой

. (4.15)

Применение оператора Лапласа к скалярным и векторным полям определяется равенствами:

,

.

Скалярное поле называется гармоническим, если для него . Уравнение называется уравнением Лапласа.

Пример. Записать с помощью оператора набла векторное поле .

◄ . ►