Для оценки математического ожидания случайной величины  всем условиям удовлетворяет средняя арифметическая :

.

Для оценки дисперсии, в условиях выборок относительно большого объема, используется выборочная дисперсия:

или

Выборочная дисперсия не удовлетворяет условию несмещенности.

Всем трем условиям удовлетворяет исправленная дисперсия:

или

.

Рассмотренные выше оценки называются точечными.

Интервальное оценивание

Рассмотренные оценки , как правило, не совпадают с истинным значением параметра a. Следовательно, имеет место некоторая погрешность при замене параметра его оценкой, то есть, , хотя величина этой погрешности неизвестна. Чтобы получить представление о точности и надежности оценки неизвестного параметра a в математической статистике рассматривают оценку

.

Вероятность того, что случайный интервал накроет неизвестный параметр a, равна и называется доверительной вероятностью. Причем, чем меньше будет для заданной вероятности , тем точнее оценка . Заметим, что если , то .

Случайный интервал, определяемый результатами наблюдений, который с заданной вероятностью накрывает неизвестный параметр a, называется доверительным интервалом для параметра a, соответствующим доверительной вероятности .

Пусть задана выборка значений случайной величины , распределенной по нормальному закону с плотностью , содержащей два неизвестных параметра a и . По заданной выборке доверительный интервал параметра получается на основе распределения Стьюдента.

Теорема. Если - независимые случайные величины распределенные нормально с математическими ожиданиями a и дисперсиями , то случайная величина имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы.

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины распределенной по нормальному закону имеет вид:

1) если  - неизвестно, то

, ;

2) если  - известно, то

.

Зная число степеней свободы и доверительную вероятность  параметр (квантиль) находится по таблице, параметр (квантиль) находится из уравнения , где .

Для построения доверительного интервала для дисперсии используют распределение .

Пусть - независимые случайные величины распределенные нормально с , . Случайная величина называется случайной величиной с распределением с степенями свободы.

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины распределенной по нормальному закону имеет вид:

.

Значения функции приводятся в таблице.

Пример. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины, представленной выборкой объема , для которой найдены выборочное среднее , если известно, что среднее квадратичное отклонение .

◄ Поскольку для нормально распределенной случайной величины известно среднее квадратичное отклонение, то воспользуемся формулой

,

где параметр (квантиль) найдем из равенства , при условии , получаем

, т.е. .

Составим доверительный интервал

,

,

окончательно получаем

.►

Проверка статистических гипотез

Пусть на некотором этапе исследования выборки из возможных значений случайной величины возникает предположение (статистическая гипотеза) о распределении генеральной совокупности. Истинность основной (нулевой) гипотезы проверятся в сравнении с альтернативными гипотезами , , , … . При этом, поскольку проверка осуществляется на основе выборки, а не всей генеральной совокупности, то все же существует, может и малая, вероятность того, что верная гипотеза будет отвергнута (ошибка 1-го рода), или наоборот принимается гипотеза, которая справедлива только для отдельной выборки и не справедлива для всей генеральной совокупности (ошибка 2-го рода). Поэтому гипотеза принимается или отвергается с некоторой вероятностью (доверительной вероятностью), чаще всего 0,9, 0,95, 0,99 и т.д.

Рассмотрим критерии согласия, которые применяются для проверки гипотез о том, что распределение изучаемой случайной величины подчиняется некоторому известному распределению, то есть, случайная величина  задана функцией распределения .

Критерий Колмогорова

Пусть имеется выборка значений случайной величины , по которой строится эмпирическая функция распределения . Предположим, что случайная величина  задается функцией распределения .

Теорема. Если функция непрерывна, то

где , то есть, величина определяет наибольшую меру отклонения эмпирической функции распределения от теоретической .

Замечание. Из теоремы следует, что критерий Колмогорова применим для оценки только непрерывных и полностью определенных, включая параметры, распределений и при достаточно большом объеме статистических данных.

Пусть задана некоторая выборка, по которой на плоскости строится ломаная линия. В этой же системе координат строим график теоретической функции распределения.

Определяем и полагаем . Находим , где - вероятность того, что за счет случайных причин максимальный разброс и будет меньше, чем фактически наблюдаемый. Если - мала (<0,2), то не соответствует опытным данным, если - велика (>0,2), то совместима с данными выборки.

Критерий ²

Пусть задан интервальный статистический ряд распределения случайной величины . По нему найдем теоретические вероятности , соответствующие столбцу r, . Предположим, что случайная величина  задается функцией распределения . За меру отклонения между распределением выборки и теоретическим распределением принимается сумма квадратов разности между теоретическими и опытными вероятностями:

,

где - некоторые коэффициенты.

Если положить , то закон распределения  не зависит от вида , числа опытов n и асимптотически сходится к распределению ²,

или .

Распределение ² имеет число степеней свободы, где k – число интервалов, на которые разбито множество наблюдений, r – число параметров теоретического распределения вероятностей.

По выборке вычисляется величина , которая сравнивается с . Если , то считается, что гипотеза не согласуется с наблюдаемыми значениями случайной величины, если , то гипотеза не противоречит опытным данным.

Замечание. Если критерий Колмогорова требует для своего применения жестких условий, то критерий ² (Пирсона) либерален. Во-первых, он применяется при проверке гипотез как дискретных, так и непрерывных случайных величин, и, во-вторых, значения параметров могут быть вычислены из этих же статистических данных. Принято считать, что для применения критерия достаточно, чтобы .