2. Числовые оценки параметров распределения

В качестве характеристик выборки значений случайной величины  в статистике рассматриваются различные средние (средняя гармоническая, средняя арифметическая, средняя квадратическая и др.), а также мода и медиана.

Модой выборки значений случайной величины  называется та варианта, которая наиболее часто встречается в выборке.

Медианой выборки значений случайной величины  называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда этой выборки. Если выборка состоит из четного числа членов, то медиана рассчитывается как средняя арифметическая серединных элементов вариационного ряда.

Наилучшей оценкой математического ожидания случайной величины  является выборочная средняя (средняя арифметическая взвешенная):

,

а дисперсии – выборочная (статистическая) дисперсия:

,

при малых n – исправленная дисперсия:

.

Оценка стандартного (среднего квадратичного) отклонения связана с оценкой дисперсии соотношением:

.

Если выборочная средняя, мода и медиана совпадают, то выборка симметрична.

Пример. Для выборки: 6, 7, 6, 4, 6, 5, 7, 8, 6, 4, 2, 5, 2, 5, 4, 6, 6, 3, 5, 7

а) определить вариационный ряд и размах выборки;

б) построить простую статистическую таблицу и полигон частот;

в) построить интервальную таблицу и гистограмму;

г) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

д) найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию, моду, медиану.

◄ Упорядочивая выборку значений случайной величины получаем вариационный ряд:

2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8;

и находим размах выборки

.

От вариационного ряда переходим к простой статистической таблице:

x	2	3	4	5	6	7	8
m	2	1	3	4	6	3	1

Построим полигон частот:

Построим интервальную статистическую таблицу и по ней гистограмму:

x
w	0,10	0,05	0,15	0,20	0,30	0,15	0,05

Найдем эмпирическую функцию распределения и построим ее график:

Вычислим выборочную среднюю

,

выборочную и исправленную дисперсию

,

.

Находим выборочные моду и медиану:

,

.►

Статистическое оценивание

Точечные оценки неизвестных параметров законов распределения

Здесь мы рассматриваем задачи определения неизвестных параметров законов распределения случайных величин в условиях относительно малых объемов эмпирических данных. Ясно, что каким бы не был объем выборки, значение параметра, который мы оцениваем, будет приближенным. Это приближение называется оценкой параметра. Для того чтобы оценка была наилучшей, требуется иметь о ней наиболее полное представление.

Пусть случайная величина  распределена по закону, который содержит неизвестный параметр . Требуется найти для него подходящую оценку по результатам выборки:

.

При выборе условий, налагаемых на оценку неизвестного параметра прежде мы должны построить математическую модель эксперимента. Под этим мы понимаем следующее:

1. выборка является n–мерным случайным вектором

где случайные величины определены на одном и том же пространстве элементарных событий и имеют, соответственно, одну и ту же функцию распределения и, тем самым, одни и те же параметры;

2) выборка репрезентативна, то есть любой элемент пространства элементарных событий имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

Таким образом, оценка параметра есть n–мерная неслучайная функция n случайных аргументов

.

Принято считать, что оценка должна удовлетворять условиям:

а) несмещенности:

практически это означает, что систематические ошибки отсутствуют;

б) эффективности, то есть оценка более эффективна чем , если

эффективность оценки означает, что её дисперсия меньше, чем дисперсия других оценок;

в) состоятельности, то есть

при

состоятельность означает, что для оценки выполняется закон больших чисел.