2. Гипергеометрическое распределение

Пусть множество из элементов содержит элементов, обладающих некоторым свойством, и элементов, которые ими не обладают. Из этого множества наудачу выбирается элементов (делается безвозвратная выборка объема ). Какова вероятность того, что среди выбранных элементов окажется ровно элементов с рассматриваемым свойством?

Эта задача играет большую роль в ряде областей практического применения вероятностных моделей в демографии, статистике населения, статистическом контроле качества продукции и др.

Очевидно, что элементарные исходы данного опыта представляют собой сочетания без повторений из элементов по . Число таких исходов = . Каждая выборка, входящая в событие ={среди отобранных элементов ровно обладают рассматриваемым свойством}, состоит из двух частей: 1) с рассматриваемым свойством и 2) ( ) без этого свойства. Все такие выборки можно получить следующим образом. Сначала составим части выборок из элементов с рассматриваемым свойством; число таких частей . Затем отдельно составим части выборок из элементов без этого свойства; число таких частей . Объединение любой части выборки из элементов с рассматриваемым свойством с любой частью выборки из элементов без этого свойства дает полный набор элементов, принадлежащих событию . Следовательно, и по формуле классической вероятности

. (5)

Здесь и далее предполагается, что при . Набор чисел , … называют гипергеометрическим распределением.

Пример. Из 20 деталей, среди которых четыре – нестандартные, наудачу выбираются шесть. Какова вероятность, что среди них не будет нестандартных?

◄ Исходное множество деталей состоит из двух частей: из 16 стандартных и из 4 нестандартных деталей. Элементарные исходы данного опыта – сочетания по 6 деталей из 20. Рассматриваемое событие: ={среди отобранных шести деталей нет нестандартных}. Применяя формулу (5), будем иметь . ►

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

1. Наиболее распространенные законы распределения непрерывных случайных величин

1. Равномерное распределение на отрезке (для краткости говорят: X подчиняется закону ) (см. рис.):

(6)

Равномерное распределение реализуется в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на отрезке (Х – абсцисса поставленной точки), а также в экспериментах по измерению тех или иных величин с округлением (Х – ошибка округления).

0

2. Показательное (экспоненциальное) распределение с параметром  (для краткости говорят: Х подчиняется закону ):

(7)

Показательное распределение часто встречается в теории массового обслуживания (например, Х – время ожидания при техническом обслуживании или Х – длительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции) и в теории надежности (например, Х – срок службы радиоэлектронной аппаратуры).

3.  Нормальный закон распределения. Случайная величина назы­вается распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с парамет­рами и > 0 если плотность распределения вероятностей имеет вид (см. рис.)

(8)

Параметры и совпадают с основными характеристиками распределения:

Для краткости говорят, что случайная величина Х распределена по закону

N (т, ), если ее плотность вероятностей записывается в виде (8). Если Х распределена по закону , то она называется стандартизованной нормальной величиной. Функция распределения стандартизованной гауссовской величины имеет вид:

(9)

С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения N (т, ):

(10)

Функцию распределения можно записать в виде , где  функция Лапласа. Имеются таблицы значений этой функции.

Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула

(11)

В частности, , , (т. е. практически достоверно, что принимает свои значения в промежутке («правило трех сигм»)).

Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению

Отсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка для нормального распределения равны нулю (т. к. ).

Пример. Случайная величина X подчиняется закону распределения Парето с параметрами > 0 и > 0, если она непрерывного типа и её функция распределения вероятностей имеет вид

(12)

Найти , , для распределения Парето, выразив их через параметры распределения.

◄ Находим плотность распределения вероятностей

Математическое ожидание вычисляем по формуле для случая непрерывной случайной величины:

Очевидно, математическое ожидание существует, если существует несобственный интеграл с бесконечным пределом, т. е. при > 1. В этом случае, вычисляя интеграл, получим

Для вычисления дисперсии используем формулу . Найдем второй начальный момент: ( ). Отсюда

( ).

Медиану находим как корень уравнения откуда ►