В частности, из определения медианы следует, что
hX
=
.
Тема 26. Основные законы распределения Основные законы распределения дискретных случайных величин
1. Наиболее распространенные законы распределения дискретных случайных величин
Приведем некоторые часто встречающиеся в вероятностных моделях законы распределения дискретных случайных величин.
1○. Биномиальный закон для числа успехов при независимых испытаниях в схеме Бернулли
{X
=
}
=
,
=
0, 1, …, n,
(1)
где
– параметр
распределения, равный вероятности
наступления успеха в каждом отдельном
испытании. Соответствующее этой формуле
Бернулли распределение случайной
величины
называется биномиальным
распределением
(или распределением
Бернулли).
Для краткости говорят, что
распределено по закону
.
Основные характеристики биномиального распределения:
mX
=
np, 
=
npq, aX
=
, eX
=
.
Пример.
Вероятности рождения девочки и мальчика
в первом приближении можно считать
равными 0,5. Какова вероятность того, что
среди
наудачу отобранных новорожденных будет
хотя бы один мальчик (событие
);
число мальчиков и девочек одинаково
(событие
);
мальчиков будет больше, чем девочек
(событие
)?
Получить числовые значения искомых
вероятностей для
= 10.
◄ Пусть
Х
– число мальчиков среди
новорожденных. Случайная величина Х
подчиняется
распределению
,
т.е. согласно формуле (1)
{X
= k}
=
, k
= 0,1,…,
.
Вероятность события проще всего найти, перейдя к противоположному событию:
(
)
= 1
(
)
= 1
{X
= 0} = 1
.
Вероятность события записывается непосредственно:
(
)
=
{X
= n}
=
.
Для
подсчета вероятности события
заметим,
что распределение Бернулли
симметрично относительно значения
.
Действительно:
{X
=
}
= Р2n,
n-k
=
= Р2n,
n+k
=
{X
=
}
для
всех k
=1, 2,…,
.
Кроме того, нетрудно проверить, что это
значение является наиболее вероятным,
т.е. мода распределения dX
=
.
В силу симметрии распределения выполняется
равенство
{X
>
}
=
{X
<
}
=
=
(1
{X
=
}).
Таким образом,
(
)
=
(1
).
Найдем числовые значения полученных вероятностей при = 10:
(
)
= 1 –
=
0,9990,
(
)
=
= 0,2461,
( ) = (1 ( )) = 0,3770. ►
2. Равномерное распределение на {1, 2, …, N}:
{X
=
}
=
,
= 0, 1,…, N.
(2)
3. Распределение
Пуассона.
Случайная величина Х
называется распределенной по закону
Пуассона с параметром
> 0, если ее возможные значения равны
0, 1, 2, ...,
а соответствующие вероятности определяются
формулой
(3)
Характерной особенностью распределения Пуассона является совпадение математического ожидания и дисперсии, причем
Распределение
Пуассона может быть получено из
биномиального распределения путем
предельного перехода при
при условии
и в этом случае интерпретируется как
закон «редких»
явлений.
Если
достаточно велико, а
мало, то, как уже отмечалось ранее,
формулу Пуассона (3) можно использовать
в качестве приближения вместо точной
биномиальной формулы для нахождения
вероятностей
успехов при
независимых испытаниях.
Пример. На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для студентов данного факультета? Вычислить указанную вероятность для значений = 0, 1, 2, 3.
◄ Так
как
= 500 >> 1 и
=
{родиться
1 сентября любому из студентов факультета}
=
<< 1, то можно считать, что случайное
число студентов X,
родившихся 1 сентября, подчиняется
закону распределения Пуассона с
параметром
= 1,36986. Поэтому по формуле (3)
Далее находим рекуррентно:
Значения
искомых вероятностей, соответствующих
биномиальному распределению
и вычисленных с четырьмя верными знаками
после запятой, таковы:
►
5. Геометрическое распределение зависит от параметра (0 < < 1) и определяется вероятностями
{X
=
}
=
,
= 0, 1, 2 … ,
= 1 –
.
(4)
В
этом случае также выполнено условие
= 1.
Пример.
Производится стрельба по цели до первого
попадания. Вероятность попадания при
каждом выстреле равна
.
Найти математическое ожидание числа
произведенных выстрелов, считая, что
стрелять можно неограниченное число
раз. Вычислить указанную величину при
.
◄ Для случайного числа произведенных выстрелов ряд распределения имеет вид
|
1 |
2 |
3 |
… |
|
|
|
|
… |
Из
этого ряда видно, что
имеет геометрическое распределение.
Математическое ожидание находим по
формуле для случая дискретной величины:
=
=
=
=
=
=
= =
.
При
имеем
,
т.е. среднее число выстрелов до первого
попадания при данной вероятности
попадания при каждом выстреле будет
равно пяти. ►