Лекция №14

Тема 25. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин

1. Понятие случайной величины

Случайной величиной называется числовая функция X = X ( ) от элементарных событий . Таким образом, случайная величина определена на множестве элементарных исходов и в зависимости от случая принимает разные числовые значения. Из этого определения случайных величин следует, что на них распространяются все правила действий с обычными функциями: их можно складывать, вычитать, перемножать и т. д.

Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их возможные значения  соответствующими малыми буквами.

Пример. Пусть множество элементарных исходов состоит из шести равновероятных исходов , = 1, 2,…, 6. Определим на этом множестве следующие случайные величины:

а) Х ( ) = 1, Х ( ) = 2, Х ( ) = 3, Х ( ) = 4, Х ( ) = 5, Х ( ) = 6;

б) Y ( ) = 1, Y ( ) = 0, Y ( ) = 1, Y ( ) = 0, Y ( ) = 1, Y ( ) = 0;

в) Z ( ) = 1, Z ( ) = 1, Z ( ) = 1, Z ( ) = 1, Z ( ) = 1, Z ( ) = 1.

Сумма случайных величин X и Y дает новую случайную величину W, которая определяется из равенства

W ( ) = X ( ) + Y ( ).

Следовательно,

W ( ) = 2, W ( ) = 2, W ( ) = 4, W ( ) = 4, W ( ) = 6, W ( ) = 6.

Произведение случайных величин Y и Z даст другую новую случайную величину V, определенную равенством

V ( ) = Y ( ) · Z ( ).

Из этого равенства следует

V ( ) = 1, V ( ) = 0, V ( ) = 1, V ( ) = 0, V ( ) = 1, V ( ) = 0.

Пример. В схеме независимых испытаний Бернулли множество состоит из элементарных событий (цепочек) = ( , , …, ), где = 1, если при -м испытании произошел успех, и = 0 в случае неудачи. Случайная величина X = X ( ) = + +…+ равна числу успехов при испытаниях в схеме Бернулли.

Любую константу С можно рассматривать как частный случай случайной величины X = X ( ) ≡ С. Такие случайные величины называются вырожденными. Простейшими случайными величинами, отличными от вырожденных, являются индикаторы. С каждым событием можно связать случайную величину

= ( ) = 1, если А; = ( ) = 0, если А,

называемую индикатором события А. Индикаторы удовлетворяют следующим легко проверяемым свойствам:

= 0, = 1, = , = 1 – .

Если события и несовместны, то

= + .

Пусть < < … < – всевозможные значения случайной величины X. Из определения случайной величины и основных свойств вероятностей можно найти вероятности, с которыми случайная величина X принимает свои возможные значения , = 1, 2,…, . Обозначим через событие, состоящее из всех тех элементарных исходов , для которых X ( ) принимает значение : = { | X ( ) = }. Тогда вероятность того, что X примет значение , равна { }. В зависимости от значений событие может оказаться невозможным, состоять из одного исхода, из двух и даже из всего множества элементарных исходов.

В вышеприведенном примере для случайной величины нетрудно получить следующие вероятности ее числовых значений:

{ = 0} = 1/2, { = 1} = 1/2,

а для величины W

{W = 2} = 1/3, {W = 4} = 1/3, {W = 6} = 1/3.