6. Предельные теоремы в схеме Бернулли
В
приложениях часто приходится вычислять
вероятности различных событий, связанных
с числом успехов
в
испытаниях Бернулли при больших
значениях
.
При больших значениях
и
вычисления по формуле (16) становятся
затруднительными. Так, если
=100
и
=50.
то для вычисления
необходимо найти
и
.
Трудности возникают и в том случае,
когда приходится суммировать вероятности
,
а также при малых значениях
или
.
В
вышеперечисленных случаях мы имеем
дело с ситуацией, когда точные выражения
оказываются бесполезны для практических
расчетов, и возникает необходимость в
приближенных формулах. Ниже рассматриваются
три предельные теоремы для вероятностей
и
при
.
Теорема
Пуассона.
Если
,
а вероятность «успеха»
,
причем, причем
,
то
.
Из
этого предельного равенства следует,
что при больших
и малых
(обычно достаточно
)
можно воспользоваться приближенной
формулой
.
(17)
Пример. Вероятность того, что изделие, сошедшее с конвейера, является бракованным, равна 0,015. Найти вероятность того, что среди 100 случайно отобранных изделий, не будет бракованных.
◄ По
формуле Бернулли будет иметь
.
Если использовать приближенную формулу
(17) при
,
то получим
►
Формулой (17) можно пользоваться не только при малых значениях вероятности , но и тогда, когда мало значение . В последнем случае пуассоновским приближением можно воспользоваться для числа наступления «неудач».
Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Пусть
–
число успехов в
независимых испытаниях по схеме Бернулли.
Тогда при достаточно больших значениях
,
где
,
– величина более высокого порядка
малости чем
(она пренебрежимо мала по сравнению с
при
).
Таким образом, если число испытаний достаточно велико, а вероятности и не очень близки к нулю, то вероятность можно найти при помощи приближенного равенства
,
(18)
где
– функция плотности нормального
стандартизированного распределения
(значения этой функции табулированы и
приводятся в справочниках по теории
вероятностей).
Пример. Вероятность изготовления продукции высшего сорта на данном предприятии равна 0,4. Найти приближенно вероятность того, что среди наудачу взятых со склада предприятия 26 изделий половина окажется высшего сорта.
◄ По
условию задачи
,
,
,
.
Используя значения
,
,
,
,
по формуле (18) находим
►
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Пусть – число успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при достаточно больших значениях
.
Приближенная формула
,
где
,
, (19)
– функция
Лапласа или
интеграл
вероятности
(значения последнего интеграла табулированы и приводятся в справочниках по теории вероятностей), дает хорошее приближение, когда достаточно велико, а и не очень близки к нулю (обычно достаточно выполнение условия >20).
Пример. Две симметричные монеты подбрасываются 1000 раз. Найти приближенное значение вероятности того, что число выпадений двух гербов заключено между 236 и 264.
◄ По
условию задачи
=1000,
(т. к. всего элементарных исходов этого
опыта 4, а событию {ГГ} благоприятствует
один из них),
,
.
Имеем
,
,
,
,
.
По формуле (19) находим
.
►
С
помощью формулы (19) можно оценить
вероятность
отклонения
(
)
частоты
в
испытаниях Бернулли от вероятности
успеха
:
.
(20)
Из
этой формулы вытекает, что отклонения
частоты от вероятности
имеют порядок
,
т. е.
(теорема
Бернулли).
(21)
Для оценки вероятности того, что отклонение частоты в схеме Бернулли от вероятности не больше , можно использовать неравенство
.
(22)
Если
задать сколь угодно малое число
(
)
и найти
из равенства
,
то согласно (22) при
с вероятностью, не меньшей
,
частота
будет находиться в пределах
.
Пример.
Сколько раз надо подбросить симметричную
монету, чтобы с вероятностью 0,90 частота
отличалась от
(вероятности выпадения герба) не более
чем на 0,01?
◄ Используем
формулу (20). По условию задачи
,
,
.
Тогда
,
откуда
.
Используя таблицу значений функции
,
получаем
и, следовательно,
.
►