Рекуррентные соотношения. Возвратные последовательности

Рекуррентным соотношением , рекуррентным уравнением , или рекуррентной формулой называется соотношение вида a_{n   +  k}  =  F ( n ,  a_n ,  a_{n   +   1} , …, a_{n   +  k   –   1} ), которое позволяет вычислять все члены последовательности a ₀ , a ₁ , a ₂ , …, если заданы ее первые k членов.

Пример 6.1. 1. Формула a_{n   +   1} = a_n + d задает арифметическую прогрессию.

2. Формула a_{n   +   1} = q · a_n определяет геометрическую прогрессию.

3. Формула a_{n   +   2} = a_{n   +   1} + a_n задает последовательность чисел Фибоначчи .

В случае, когда рекуррентное соотношение линейно и однородно, т. е. выполняется соотношение вида

a_{n  + k}   + p ₁ a_{n  + k  – 1} + … + p_k a_n  = 0       (5.4)

( p = const ), последовательность a ₀ , a ₁ , a ₂ , … называется возвратной . Многочлен

P_a ( x ) = x^k + p ₁ x^{k   –   1} + … + p_k        (5.5)

называется характеристическим для возвратной последовательности { a_n }. Корни многочлена P_a ( x ) называются характеристическими .

Множество всех последовательностей, удовлетворяющих данному рекуррентному соотношению, называется общим решением .

Описание общего решения соотношения (5.4) имеет аналоги с описанием решения обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Теорема 6.1. 1. Пусть λ — корень характеристического многочлена (5.5). Тогда последовательность { c λ _n }, где с — произвольная константа, удовлетворяет соотношению (5.4).

2. Если λ ₁ , λ ₂ , …, λ _k — простые корни характеристического многочлена (5.5), то общее решение рекуррентного соотношения (5.4) имеет вид а_п = c ₁ λ ₁ ⁿ + c ₂ λ ₂ ⁿ + … + c_k λ _k ⁿ , где c ₁ , c ₂ , …, c_k — произвольные константы.

3. Если λ _j — корень кратности r_i ( i = 1, …, s ) характеристического многочлена (5.5), то общее решение рекуррентного соотношения (5.4) имеет вид  где c_ij — произвольные константы.

Зная общее решение рекуррентного уравнения (5.4), по начальным условиям a ₀ , a ₁ , a ₂ , …, a_{k   –   1} можно найти неопределенные постоянные c_ij и тем самым получить решение уравнения (5.4) с данными начальными условиями.

Пример 6.2. Найти последовательность {а_п }, удовлетворяющую рекуррентному соотношению a_{n   +   2} – 4 a_{n   +   1} + 3 a_n = 0 и начальным условиям a ₁ = 10, a ₂ = 16.

Корнями характеристического многочлена P_a ( x ) = x ² – 4 x + 3 являются числа x ₁ = 1 и x ₂ = 3. Следовательно, по теореме 6.1. общее решение имеет вид а_п   =  c ₁   +  c ₂ 3 ⁿ . Используя начальные условия, получаем систему

решая которую, находим c ₁ = 7 и c ₂ = 1. Таким образом, а _n = 7 + 3 ⁿ .

Рассмотрим неоднородное линейное рекуррентное уравнение

Пусть { b_n } — общее решение однородного уравнения (5.4), а {с_п } частное (конкретное) решение неоднородного уравнения (5.6). Тогда последовательность { b _п + с_п } образует общее решение уравнения (5.6), и тем самым справедлива.

Теорема 6.2. Общее решение неоднородного линейного рекуррентного уравнения представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного линейного рекуррентного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения.

Таким образом, в силу теоремы 6.1. задача нахождения общего решения рекуррентного уравнения (5.6) сводится к нахождению некоторого частного решения.

В отдельных случаях имеются общие рецепты нахождения частного решения.

Если f ( n ) = β ⁿ   (где β не является характеристическим корнем), то, подставляя а_п = cβ ^п в (5.6), получаем с (β ^k + p ₁ β ^{k  –   1} + … + p _k ) · β ⁿ и отсюда с · Р_а ( b ) = 1, т.   е. частное решение можно задать формулой

Пусть f ( n ) — многочлен степени k от переменной п , и число 1 не является характеристическим корнем. Тогда Р_а (1) = 1 + p ₁ + … + p_k ≠ 0 и частное решение следует искать в виде  Подставляя многочлены в формулу (5.6), получаем

Сравнивая коэффициенты в левой и правой частях последнего равенства, получаем соотношения для чисел d_i , позволяющие эти числа определить.

Пример 6.3. Найти решение уравнения

a_{n   +   1} + 2а_п = п + 1     (5.7)

с начальным условием а ₀ = 1.

Рассмотрим характеристический многочлен Р_а (х ) = х + 2. Так как Р _a (1) = 3 ≠ 0 и правая часть f ( n ) уравнения (5.6) равна n + 1, то частное решение будем искать в виде с_п   =  d ₀ + d ₁ · п . Подставляя с_п в уравнение (5.7), получаем ( d ₀ + d ₁ (п + 1)) + 2( d ₀ + d ₁ п ) = (3 d ₀ + d ₁ )+ 3 d ₁ п = 1 + п . Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему

откуда, находим  Таким образом, частное решение уравнения (5.7) имеет вид  По теореме 6.1. общее решение однородного уравнения a_{n  +   1} + 2а_п = 0 задается формулой b _п = с · (–2) ⁿ , и по теореме 6.2. получаем общее решение уравнения (5.7):  Из начального условия а ₀ = 1 находим , т.   е.  Таким образом,

Цит. по: Элементы дискретной математики: учебник / С.В. Судоплатов , Е.В. Овчинникова. — М.: ИНФРА-М; Новосибирск: НГТУ , 2003. — С. 166–170 .— (Серия «Высшее образование»).