Бином Ньютона

Имеется формула, называемая биномом Ньютона, которая использует выражения числа сочетаний без повторений

где a , b — действительные или комплексные числа.

Например:

Коэффициенты  называются биномиальными . Докажем формулу бинома Ньютона по индукции. Доказательство по индукции предполагает:

1)   базис индукции — доказательство того, что формула верна для конкретного n , например, для n  =   1. В нашем случае мы убедились, что формула верна для n = 2, 3, 4. Убедимся, что она верна и для n  =   1.

2)   индукционный шаг. Предполагая, что формула верна для некоторого n , убеждаются, что тогда она верна и для n + 1;

3)   при истинности шагов 1 и 2 заключают, что формула верна для любого n .

Приступим к индукционному шагу.

Возьмем выражение  и получим из него выражение для n + 1. Очевидно, что это можно сделать путем умножения на (а + b ):

Преобразуем полученное выражение:

Для выполнения индукционного шага необходимо показать, что это выражение равно выражению

Рассмотрим подвыражение выражения (1):  и заменим i на i – 1.

Получим  т. е. одинаковые коэффициенты  перед выражениями  для числа сочетаний в первом и втором подвыражении выражения (1).

Это позволит вынести a^{n  –  i  +  l} bⁱ за скобку. Но в  не учтен n -й член подвыражения  (суммирование идет до n ):  тогда, учитывая его, получаем:

Нетрудно видеть, что  можно заменить на  кроме того, мы уже доказали, что  поэтому:  что, очевидно, равно выражению

По индукции получаем, что формула бинома Ньютона верна для любого n .

Решение комбинаторных уравнений

В комбинаторике тоже могут решаться уравнения, особенностью которых является то, что неизвестная принадлежит множеству натуральных чисел. Например, уравнения вида х ∈ ℕ , где ℕ — множество натуральных чисел, или вида

При решении комбинаторных уравнений часто необходимо уметь выполнять действия с факториалами типа:

.

В комбинаторике рассматриваются и другие типовые комбинаторные комбинации, например, разбиения n -элементного множества на k подмножеств, которые называются блоками разбиения.

В информатике вычисления на конечных математических структурах часто называют комбинаторными вычислениями, и они требуют комбинаторного анализа для установления свойств и оценки применимости используемых алгоритмов. На рис. 11 приведен один из возможных вариантов классификации основных комбинаций.

Комбинаторные задачи могут быть решены, например, системой компьютерной математики Matematica (3,4) фирмы Wolfram Research ,  Inc . — пакет расширения «Дискретная математика» ( DiscreteMath ) — комбинаторика и ее функции ( Combinatorica , Combinatorial Functions ): функции перестановок и сочетаний и др.

Рис. 11. Основные комбинации

Цит. по: Дискретная математика и математическая логика: учебник / Ю.А. Аляев , С.Ф. Тюрин. — М.: Финансы и статистика , 2006. — С. 39–56.

Метод включений и исключений

Пусть множество А имеет N элементов и п одноместных отношений (свойств) Р ₁ , Р ₂ , ..., Р_п . Каждый из N элементов может обладать или не обладать любым из этих свойств. Обозначим через  число элементов, обладающих свойствами  и, может быть, некоторыми другими. Тогда число N (0) элементов, не обладающих ни одним из свойств P ₁ , P ₂ , ..., Р_п , определяется по следующей формуле, называемой формулой включений и исключений :

Пример 5.1. Пусть колода состоит из п карт, пронумерованных числами 1, 2, ..., n . Сколькими способами можно расположить карты в колоде так, чтобы ни для одного i (1 ≤ i ≤ п ) карта с номером i не занимала i -е место?

Имеется п свойств Р _i в виде « i -я карта занимает в колоде i - e место». Число всевозможных расположений карт в колоде равно n !. Число  расположений, при которых карта с номером i_j занимает место i_j ( j = 1, ..., k ), равно ( n – k )!. Тогда S ₀ = n ! .

Используя формулу (5.2), получаем, что число N (0) расположений, при которых ни одно из свойств P_i не выполнено, равно

Обобщая формулу (5.2), получаем формулу, позволяющую вычислить число N ( r ) элементов, обладающих ровно r свойствами (1 ≤ r ≤ п ):

Определим функцию [х ] для вещественных чисел х как наибольшее целое число, не превосходящее х . Для положительных целых чисел а и b значение функции  равно количеству чисел из множества {1, 2, ..., b }, которые делятся на а , т. е. кратных a .

Пример 5.2. Сколько положительных чисел от 1 до 500 делятся ровно на одно из чисел 3, 5 или 7?

Обозначим свойства делимости на 3, 5 и 7 соответственно через P ₁ , P ₂ , и Р ₃ . Тогда для N = 500 имеем   Так как N ₁₂ — число общих кратных для чисел 3 и 5, наименьшее общее кратное которых равно 15, то N ₁₂ совпадает с количеством чисел, которые делятся на 15, т.   е.  

Аналогично  По формуле (5.3) находим искомое число чисел