Сочетания

В ряде комбинаторных задач требуется определить число k -элементных подмножеств множества из n элементов. В этом случае порядок следования компонентов несущественен, т. е. производится неупорядоченная выборка. В результате получают так называемые сочетания без повторения.

Сочетаниями без повторений из п элементов по k называются отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом выборки длины k , составленные из n -элементного множества.

Число сочетаний без повторений из n элементов по k , обозначаемое как  определяется исходя из числа размещений без повторений с учетом того, что различных неупорядоченных векторов (подмножеств исходного множества) будет меньше в число раз, соответствующее числу перестановок без повторений из k элементов:

Пример. Определить число двухэлементных подмножеств множества, состоящего из трех элементов. Перечисляем все двухэлементные подмножества множества X = { х₁ , х₂ , х₃ }:

{х₁ , х₂ }, {х₁ , х₃ }, {х₂ , х₃ }.

Здесь мы имеем дело с сочетаниями из трех по 2:

Это величина в 2! раза меньше, чем число размещений из  поскольку компоненты двухэлементных векторов можно переставить Р₂ = 2! способами.

Пример. Сколькими способами можно выбрать 3 различных комбайна из 5 имеющихся?

Число размещений из пяти по 3 без повторений:

Один и тот же набор комбайнов можно получить различными способами, например, векторы (а, b , с) и ( b , а, с) дают один и тот же набор. Поскольку три элемента можно переставить Р₃ = 3! = 6 способами, то число способов выбора различных трех комбайнов равно

В ряде комбинаторных задач требуется подсчитывать число различных составов векторов длины k из n -элементного множества. Такие векторы-составы называются сочетаниями с повторениями из п элементов по k .

Например, требуется составить механизированные бригады из трех комплексов двух типов и определить количество таких бригад. Порядок следования комплексов в векторе бригады роли не играет, а каждая бригада задается вектором длины 3 из двух элементов, порядок компонентов которого роли не играет.

Получаем сочетания с повторениями из двух элементов по 3:

( m ₁ , m ₁ , m ₁ ), ( m ₁ , m _{2, m 2} ), ( m ₁ , m ₁ , m ₂ ), ( m _{2, m 2, m 2} ),

где m означает тип комплекса.

Итак, можно построить бригаду из трех комплексов первого типа, трех комплексов второго типа, двух комплексов второго типа и одного первого и, наконец, двух комплексов первого типа и одного второго, т. е. четырьмя способами.

Определение числа сочетаний с повторениями можно произвести следующим образом.

Каждому сочетанию с повторениями из двух по 3 ставится в однозначное соответствие вектор длины n + k – 1 = 2 + 3 – 1 = 4, состоящий из трех нулей и n – 1 = 1 единицы (табл. 6).

Таблица 6

Определение числа сочетаний с повторениями

В таком случае число сочетаний с повторениями, которое обозначается  равно числу перестановок с повторениями данного состава (вектор имеет одну единицу и три нуля), т. е.

В общем случае это выражение имеет вид

что соответствует выражению

Например, требуется составить подразделения из 6 рабочих четырех специальностей и определить количество способов формирования таких подразделений.

Получаем сочетания с повторениями из четырех элементов по 6: