Групповые коды

Рассмотрим подробнее коды слов в алфавите В = {0,   1}. Если для слов длиной т используются кодовые слова длиной n , то такие коды будем называть (т , п )-коды. Всего слов длиной m равно 2 ^m . Чтобы задать (т , п )-код, можно перечислить кодовые слова для всех возможных слов длиной m , как в предыдущем примере. Более экономным способом задания кодовых слов является матричное задание.

В этом случае задается порождающая матрица G = ∣∣ g_ij ∣∣ порядка т × п из 0 и 1. Кодовые слова определяются каждый раз по слову а = а ₁ a ₂ ... а_т путем умножения этого слова слева, как вектора, на порождающую матрицу

Здесь сложение определяется по модулю 2. Для того чтобы разным словам соответствовали разные кодовые слова, достаточно иметь в матрице G единичный базисный минор порядка т , например крайний левый.

Пример 13 .4 . Рассмотрим порождающую матрицу

Эта матрица задает (3, 4)-код. При этом три первые символа в кодовом слове информационные, а четвертый — контрольный. Он равен 0, если четное число единиц в исходном слове, и 1, если нечетное число единиц. Например, для слова а = 101 кодом будет b = aG = 1010. Минимальное расстояние Хемминга между кодовыми словами равно d ( b_i ,  b_j ) = 2. Поэтому это — код, обнаруживающий однократную ошибку.

Определение 13.2. Код называется групповым , если множество всех кодовых слов образует группу. Число единиц в слове а называется весам слова и обозначается   Если b — кодовое слово и принятое в канале связи слово с = b + е , то слово е называется вектором ошибок .

Теорема 13.3. Пусть имеется групповой (т , п )-код. Тогда коммутативная группа К всех кодовых слов является подгруппой коммутативной группы С всех слов длины п , которые могут быть приняты в канале связи. Наименьшее расстояние между кодовыми словами равно наименьшему весу ненулевого кодового слова и

Рассмотрим фактор-группу С   /   K . Смежные классы здесь будут определяться сдвигом е + b , b ∈ K .

В качестве представителя смежного класса выберем элемент с наименьшим весом. Будем такие элементы называть лидерами смежного класса .

Если лидеры трактовать как векторы ошибок, то каждый смежный класс — множество искаженных слов в канале связи с фиксированным вектором ошибок, в частности при е = 0 имеем смежный класс слов без искажений, т. е. множество всех кодовых слов. Процесс коррекции и декодирования слова с заключается в поиске того смежного класса, к которому относится слово с = е + b . Вектор ошибок е определяет число и локализацию ошибок, кодовое слово b определяет коррекцию принятого слова.

Чтобы облегчить поиск смежного класса и тем самым вектора ошибок, Хемминг предложил использовать групповые коды со специальными порождающими матрицами.

Хемминговы коды

Рассмотрим построение хеммингова (т , п )-кода с наименьшим весом кодового слова равным 3, т. е. кода, исправляющего одну ошибку.

Положим п = 2 ^r – 1 и пусть в каждом кодовом слове будут r символов контрольными, а т символов (т = п – r = 2 ^r – 1– r ) — информационными, r ≥ 2, например (1, 3)-код, (4, 7)-код и т. д. При этом в каждом кодовом слове b = b ₁ b ₂ ... b _п символы с индексами, равными степени 2, будут контрольными, а остальные информационными. Например, для (4, 7)-кода в кодовом слове b = b ₁ b ₂ b ₃ b ₄ b ₅ b ₆ b ₇ символы b ₁ b ₂ b ₄ будут контрольными, а символы b ₃ b ₅ b ₆ b ₇ — информационными. Чтобы задать порождающую матрицу G хеммингова (т , п )-кода, рассмотрим вспомогательную матрицу М порядка r × п , где п = 2 ^r – 1, такую, что в каждом j столбце матрицы М будут стоять символы двоичного разложения числа j , например для (4, 7)-кода матрица М будет 3   ×   7:

Множество всех кодовых слов зададим как множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений вида

b М^Т = 0.

Например, для (4, 7)-кода такая система будет:

Выберем естественный базисный минор системы b М^Т = 0, стоящий в столбцах с номерами, равными степени 2. Тем самым переменные разделим на базисные (кодовые) и свободные (информационные). Теперь, задав свободные переменные, легко получить базисные. Найдем фундаментальную систему m = п – r решений этой однородной системы. Тогда любое решение системы есть линейная комбинация этих m решений. Поэтому, выписав построчно m решений фундаментальной системы в виде матрицы G размером m × п , получим порождающую матрицу хеммингова группового (т , п )-кода, например для (4, 7)-кода фундаментальной системой решений будут 4 = 7 – 3 следующих решения однородной системы:

g ₁ = 1110000,    g ₂ = 1001100,   g ₃ = 0101010,    g ₄ = 1101001.

Любая линейная комбинация этих решений будет решением, т. е. кодовым словом. Составим из этих фундаментальных решений порождающую матрицу

Теперь по любому слову а длиной т = 4 легко вычислить кодовое слово b длиной п = 7 при помощи порождающей матрицы b = aG . При этом символы b ₃ ,  b ₅ ,  b ₆ ,  b ₇ будут информационными. Они совпадают с а ₁ ,   а ₁ , а ₃ , а ₄ .Символы b ₁ ,  b ₂ ,  b ₄ будут контрольными.

Вывод . Хемминговы коды удобны тем, что при декодировании легко определяются классы смежности. Пусть принятое по каналу связи слово будет с = е + b , где е — ошибка, b — кодовое слово. Тогда умножим его на вспомогательную матрицу сМ^Т = (е + b )М^Т = еМ ^T . Если еМ ^T = 0, то слово с — кодовое и считаем: ошибки нет. Если еМ ^T ≠ 0, то слово е определяет ошибку.

Напомним, что построенный хеммингов (т , п )-код определяет одну ошибку. Поэтому вектор ошибки е содержит одну единицу в i позиции. Причем номер i позиции получается в двоичном представлении как результат еМ ^T , совпадающий с i столбцом матрицы М . Осталось изменить символ i в принятом по каналу слове с, вычеркнуть контрольные символы и выписать декодированное слово.

Например, пусть принятое слово будет с = 1100011 для (4, 7)-кода Хемминга. Умножим это слово на матрицу М ^T . Получим

(1100011}М ^T =(010).

Следовательно, есть ошибка во втором символе. Поэтому кодовое слово будет b = 1000011. Вычеркнем контрольные символы b ₁ ,  b ₂ ,  b ₄ .Декодированное слово будет а = 0011.

Конечно, если ошибка была допущена более чем в одном символе, то этот код ее не исправит.

Цит. по: Дискретная математика: учебник для студ. вузов / Т.С. Соболева, А.В. Чечкин; под ред. А.В. Чечкина. — М.: Издательский центр «Академия», 2006. — С. 180–186. — (Университетский учебник. Сер. Прикладная математика и информатика).

Горбатов В.А. Основы дискретной математики / Учеб. пособие для вузов. - М: Высшая школа, 1986. — 312 с.

Там же.

ГОСТ 701-90. Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. Условные обозначения и правила выполнения. — М.: Издательство стандартов, 1991. — 26 с.

Горбатов В.А. Основы дискретной математики / Учеб. пособие для вузов. — М: Высшая школа, 1986. — 312 с.

Кэли (Кейли) ( Cayley ) Артур (1821-1895) — английский математик.

Горбатов В.А. Основы дискретной математики / Учеб. пособие для вузов. — М: Высшая школа, 1986. — 312 с.

Тюрин С.Ф. Проблема сохранения функциональной полноты булевых функций при «отказах» аргументов // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 9. — С. 176–186.

Потемкин И.С. Функциональные узлы цифровой автоматики. — М.: Энергоатомиздат, 1988. — 258 с.

Там же.

Коган Т.И. Дискретные устройства (автоматы). — Пермь: Тип. ПВВКИУ, 1985. — 208 с.

Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера / О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский. — М: Энергоатомиздат, 1988 г. — 450 с.

Там же.

Там же.

Там же.

Там же.

Там же.

Там же.

Горбатов В.А. Основы дискретной математики / Учеб. пособие для вузов. — М: Высшая школа, 1986. — 312 с.

Там же.

Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука, 2000. — 540 с.;

       Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера / О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский. — М: Энергоатомиздат, 1988 г. — 450 с.

176