Переключательные функции от трех аргументов
Проверим, не равна ли наша функция функциям
а ⊕ b , а ⊕ с, b ⊕ с, а ⊕ b ⊕ с и их инверсиям:
Для этого получим соответствующие векторы этих линейных ПФ (табл. 31).
Таблица 31
Векторы переключательных функций
Видим, что ни один из полученных векторов этих восьми линейных ПФ не совпадает с вектором нашей функции.
Следовательно, функция № 17410 — не линейная.
4. Определим, обладает ли наша ПФ свойствами самодвойственности.
Для этого проанализируем ее вектор в двоичном коде (рис. 38).
Рис. 38. Вектор в двоичном коде
Видим, что симметричные разряды 5 и 2 неортогональны. Следовательно, ПФ — несамодвойственна. У самодвойственной ПФ симметричные разряды ортогональны (противоположны).
5. Определим, монотонна ли наша ПФ.
Посмотрим на куб соседних чисел. Монотонная функция по всем возможным путям из вершины (000) в вершину (111) монотонна. Однако наша функция на наборе (010) принимает значение «1», а на большем сравнимом наборе (110) — «0». Следовательно, она не монотонна.
Представим вектор свойств ПФ (табл. 32).
Таблица 32
Вектор свойств пф
В восьмеричном коде вектор свойств равен 308 , а в шестнадцатеричном — 1816 .
Цель минимизации переключательных функций
При технической реализации переключательных функций, широко используемых в вычислительной технике, системах автоматического (автоматизированного) управления и контроля возникает задача нахождения наиболее экономичного представления соответствующих переключательных функций. По существу решается задача оптимизации, причем минимизируется стоимость реализации. Понятие стоимости устройства, реализующего переключательную функцию, — дискретного устройства — относительно. Для переключательных схем, реализуемых в виде релейно-контактных схем, для схем из корпусных транзисторов и резисторов, из микросхем логических элементов малой степени интеграции минимизация числа реле, контактов, транзисторов, числа микросхем и означает снижение стоимости. Это было особенно актуально на ранних этапах развития дискретной, цифровой техники. Для современных цифровых автоматов на больших и сверхбольших интегральных схемах (БИС и СБИС) стоимость определяется площадью схемы на кристалле кремния и непосредственно не связана с числом микротранзисторов и других элементов. Нередко схема с большим числом элементов, но обладающая высокой регулярностью, занимает небольшую площадь, кроме того, она выгодна с точки зрения проектирования, ведь стоимость проектирования, как и стоимость изготовления, входит в суммарную стоимость устройства.
При построении устройства из дискретных компонентов в целях повышения надежности наряду с уменьшением их числа (что увеличивает вероятность безотказной работы) большое значение придается уменьшению числа соединений между компонентами (это также увеличивает вероятность безотказной работы). Кстати, эта задача решается на соответствующем графе — он разбивается на подграфы, минимально связанные между собой. Однако для БИС надежность соединений внутри кристалла достаточно высока по сравнению с надежностью соединений между кристаллами. В связи с этим большое значение приобретает деление системы на БИС таким образом, чтобы уменьшить число точек соединений между ними.
Ограничимся в дальнейшем целью нахождения наиболее простого представления переключательной функции в смысле наименьшего числа входящих в нее символов (букв). Процесс получения такого представления будем называть минимизацией. Под различными символами (буквами) будем понимать вхождения одной и той же переменной в различные дизъюнктивные (конъюнктивные) члены функции. Так, функция z 1 ( abc ) = ab ∨ ā c ∨ bc ∨ bc содержит шесть букв, а функция z 2 ( abc ) = ab ∨ ā c — четыре буквы, хотя обе функции зависят от трех переменных а, b , с (закон обобщенного склеивания z 1 = z 2 ).
Методы минимизации разрабатываются применительно к каждой отдельной функциональной полной системе элементных переключательных функций. Наиболее детально такие методы разработаны для систем из дизъюнкции, конъюнкции и инверсии.
При этом задача минимизации переключательной функции сводится к нахождению такой ее формы, которая содержит наименьшее число дизъюнкций, конъюнкций и инверсий.
Нахождение минимального представления функции в виде ДНФ или КНФ связано с решением двух основных задач. Во-первых, это определение конъюнкций (дизъюнкций), входящих в ДНФ (КНФ), каждая из которых содержит минимальное число букв. Во-вторых, это определение ДНФ (КНФ), содержащей минимальное число различных элементарных конъюнкций (дизъюнкций).
Будем рассматривать в основном минимизацию переключательных функций в классе ДНФ, не требуя минимизации числа инверсий.
Цит. по: Дискретная математика и математическая логика: учебник / Ю.А. Аляев, С.Ф. Тюрин. — М.: Финансы и статистика, 2006. — С. 76–92, 97–105, 118–120.