Размещения

Упорядоченная ( n , k )-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется ( n , k )-размещением с повторениями.

Иными словами, размещениями с повторениями из n элементов по k называют векторы длины k, составленные из n элементов множества X .

Число размещений с повторениями из n элементов по k определяется оценкой соответствующего декартова произведения Х ^k n -элементного множества, обозначается  (по-видимому от английского слова Assing — назначать) и вычисляется следующим образом:

Таким образом, первый элемент вектора длины k выбирается n способами, второй — n способами и т. д.: n · n · ... · n = n^k .

Пример. Сколькими способами можно оснастить две различные фирмы компьютерами трех типов?

Каждый способ оснащения есть выборка (3,   2), вектор длины 2, составленный из трехэлементного множества типов Т = { t ₁ , t ₂ , t ₃ }. Поэтому число способов оснащения — число размещений с повторениями из 3 по 2:

Рассмотрим подробнее:

1)   ( t ₁ , t ₁ );  2)   ( t ₁ , t ₂ );  3)   ( t ₁ , t ₃ )

4) (t₂ ,t₂ );  5) (t₂ ,t₃ );  6) (t₂ ,t₁ );

7) (t₃ , t₃ ); 8) (t₃ , t₂ ); 9) (t₃ , t₁ ).

Получили различные упорядочения двухэлементных векторов из трех элементного множества, т. е. множество Т² .

Здесь каждый вектор соответствует способу оснащения. Видно, что, например, ( t_l ,  t ₂ ), ( t ₂ ,  t ₁ ) считаются разными способами, так как фирмы предполагаются различными («первая — первым типом», «вторая — вторым» и т. д.). Имеются повторения: ( t_l ,  t ₁ ), ( t ₂ , t ₂ ), ( t ₃ , t ₃ ).

В ряде задач необходимо определить число векторов длины k из n элементов данного множества без повторения элементов.

Если элементы упорядоченной ( n , k )-выборки попарно различны, то они называются ( n , k )-размещением без повторений или просто ( n , k )-размещением.

Число таких размещений без повторений обозначается .

Каждое ( n , k )-размещение без повторения является упорядоченной последовательностью длины k , элементы которой попарно различны и выбираются из множества с n элементами. Тогда первый элемент этой последовательности может быть выбран n способами, после каждого выбора первого элемента последовательности второй элемент может быть выбран ( n – 1)-способами и т. д., k -й элемент выбирается n  –   ( n – k )-способом:

Преобразуем эту формулу, умножая и деля ее на произведение чисел 1 · 2···( n  –  k ):

В частности, при k = 0  Очевидно, что при

Пример. Сколькими способами можно скомплектовать группу из трех студентов для прополки клубники в составе начальника и подчиненных?

Речь идет о выборе упорядоченных двухэлементных подмножеств множества студентов, состоящего из трех элементов (К = {1, 2, 3}), т. е. о размещениях без повторений из трех элементов по 2, поэтому:

Подробнее в виде векторов из номеров студентов (например, по журнальному списку) первая компонента которого обозначает номер студента-начальника, вторая — подчиненного:

(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2).

Ясно, что здесь существенен порядок следования компонентов и не может быть повторений (один студент не может быть начальником и подчиненным одновременно), поэтому это множество — подмножество декартового произведения.