Линейные функции двух переменных

Из табл. 28 видно, что каждая линейная функция имеет инверсную ей функцию: константа 0 — константа 1; повторение х₁ , х₂ — инверсия  сложение по модулю 2х₁ ⊕ х₂ — эквиваленция х₁ ↔ х₂

5. Класс монотонных функций. Монотонная функция на большем сравнимом наборе переменных принимает не меньшие значения. Это удобно проверять на решетках Хассэ. Так, для двух переменных решетка имеет вид, как на рис. 37.

На рис. 37 проставлены значения монотонной функции х₁ . Видно, что 11 > 01 > 00, 11 > 10 > 00 (частично упорядоченное множество наборов).

Рис. 37. Решетка Хассэ для двух переменных с указанием значений f_{l 0} ( x ₁ x ₂ ) = x ₁

Очевидно, что константы 0, 1 — монотонные функции, дизъюнкция и конъюнкция — монотонные функции, повторения х₁ , х₂ — монотонные функции.

Система логических функций называется функционально полной , если любая произвольная переключательная функция от любого числа переменных может быть представлена в виде суперпозиции функций из этой системы.

Функционально полная система логических функций называется минимальной , если удаление из нее хотя бы одной функции превращает ее в неполную. Критерий функциональной полноты устанавливает теорема Поста, в которой утверждается, что для функциональной полноты систем переключательных функций необходимо и достаточно, чтобы они содержали следующие функции:

● не сохраняющую константу 0;

● не сохраняющую константу 1;

● несамодвойственную;

● нелинейную;

● немонотонную.

Базисы представления переключательных функций

Функционально полные системы переключательных функций представляют собой базис. Всего можно получить 17 различных минимальных базисов из логических функций двух переменных.

Имеются функции, обладающие всеми пятью отмеченными свойствами. Таковы функции  (см. табл. 26). Часто их называют соответственно ИЛИ-НЕ, И-НЕ. Таким образом, это базисы, состоящие из одной функции (базис Вебба и базис Шеффера). Этот факт очень важен при технической реализации дискретных устройств: достаточно иметь элементы, реализующие только одну из этих функций, чтобы построить любую, сколь угодно сложную схему. Имеются базисы, состоящие из двух функций:

Иногда используется не минимальный базис — из трех функций:

Имеется и довольно экзотический базис Жегалкина:

В дальнейшем нам пригодится так называемый импликативный базис:

Если рассматривать переключательные функции большего числа аргументов, то можно поставить задачу отыскания базисов, не зависящих от некоторых модификаций соответствующих функций. Такие модификации могут быть, например, вызваны подстановкой констант 0, 1 и инверсией переменных, что происходит при некоторых отказах (дефектах) соответствующих логических элементов. Такие базисы называют толерантными. Например, переключательная функция четырех переменных  — толерантный базис — функционально полная толерантная функция, которая при подстановке констант вместо переменных или при инверсии переменных модифицируется также в базисную функцию:

Пример анализа и определения свойств ПФ, заданной десятичным номером

Дано; двоичная переключательная функция № 174₁₀ .

Получим соответствующий двоичный код: 10101110₂ (2⁷ + 2⁵ + 2³ + 2² + 2¹ ). Таблица истинности ПФ № 174₁₀ показана в табл. 29.

Таблица 29

Таблица истинности

Получим восьмеричный код ПФ: 256₈ .

Получим шестнадцатеричный код ПФ: АЕ₁₆ .

Получим символическую форму: f ( abc )₁₀ = 1, 2, 3, 5, 7 [0, 4, 6].

В двоичном виде: f ( abc )₂ = 001₂ ∨ 011₂ ∨ 101₂ ∨ 111₂ ∨ 010₂ .

Определим свойства ПФ №174₁₀ .

1. Поскольку на наборе 000 ПФ равна 0, то ПФ обладает свойством сохранения константы «0»,

2. Поскольку на наборе Ш ПФ равна 1, то ПФ обладает свойством сохранения константы «1».

3. Рассмотрим все возможные линейные ПФ от трех аргументов в зависимости от значений коэффициентов полинома k ₀ ⊕ k ₁ c ⊕ k ₂ b ⊕ k ₃ а (табл. 30).

Таблица 30