Одномерная таблица истинности некоторой функции

Таблица 14

Двухмерная таблица истинности

Переключательная функция может быть представлена в виде формулы, такое представление носит название аналитического. Например, переключательная функция, заданная табл. 13–14, может быть представлена формулой , т. е. данная функция не зависит от х₃ .

Основные бинарные логические операции

Конъюнкцией называется бинарная логическая операция, соединяющая две двоичных переменных а и b , принадлежащих множеству {0, 1}, в такую переключательную функцию с, которая равна 1 (истинна) только тогда, когда равны 1 (истинны) обе переменных. Операция конъюнкции обозначается символом ∧ (&) или просто «·». В ряде случаев точку также опускают.

Конъюнкция может быть представлена таблицей, подобной таблице Кэли для абстрактных алгебраических операций, называемой двухмерной таблицей истинности (табл. 15).

Таблица 15

Бинарная конъюнкция

Таким образом, конъюнкция — это операция В²   ↦   В, где В — двухэлементное множество {0, 1}, где 0, 1 — значения истинности переменных. Известна также другая форма таблицы истинности — одномерная (табл. 16).

Таблица 16

Бинарная конъюнкция

Конъюнкция n переменных истинна тогда и только тогда, когда все составляющие ее переменные истинны (равны 1).

Логическая операция, соответствующая союзу «или» в неразделительном смысле, называется дизъюнкцией (disjunctio — разделение).

Дизъюнкцией называется логическая операция, соединяющая две переменные а и b в такую переключательную функцию c , которая равна 0 (ложна) только тогда, когда ложны обе переменные (равны 0). Дизъюнкция обозначается символом ∨ .

В латыни союзу «или» в неразделительном смысле соответствует слово vel. Символ ∨ происходит от первой буквы этого слова.

Таблица истинности дизъюнкции (одномерная) имеет вид табл. 17.

Таблица 17

Бинарная дизъюнкция

Дизъюнкция n переменных ложна тогда и только тогда, когда все составляющие ее переменные ложны.

Логическая операция, соответствующая частице «не», словосочетанию «неверно, что», называется инверсией . Пример инверсии: «Студент Петров не отличник», «Неверно, что студент Иванов является спортсменом».

Инверсией называется также переключательная функция (ПФ), полученная отрицанием данной ПФ.

Инверсию a обозначают , используя знак дополнения множеств.

Таблица истинности унарной операции инверсии В  ↦   В имеет вид, представленный в табл. 18.

Таблица 18

Бинарная инверсия

Логическая операция, соответствующая союзу «если, ... то», называется импликацией .

Примеры импликации: «Если вы будете хорошо заниматься в семестре, то сдадите экзамен по дискретной математике».

Импликацией называется также логическая операция, соединяющая две переменных а и b в такую переключательную функцию c , которая равна 0 (ложна) только тогда, когда а истинно, а b ложно. Импликация обозначается символом →.

Таблица истинности импликации имеет вид, представленный в табл. 19.

Таблица 19