Метод резолюций

Подход к определению общезначимости формулы в рамках формальной теории более удобный, чем в рамках логики предикатов. Но в силу неалгоритмичности проблемы разрешимости логики предикатов существуют формулы, для которых неизвестно, как построить их вывод. Во второй половине XX в. американский математик А. Робинсон сформулировал еще один подход к этой алгоритмически неразрешимой задаче. Он предложил перевести проблему в рамки специальной игры с формулами по более простым правилам, чем правила вывода исчисления предикатов. Этот подход был назван методом резолюций. Сначала рассмотрим метод резолюций в применении, к логике высказываний и затем перенесем метод на логику предикатов.

Определение 10.2. Атомарную формулу логики высказываний, или ее отрицание, назовем литерой . Литеры будем обозначать строчными латинскими буквами.

Пример 10 .3 . Формулы  являются литерами, а формула Р   ⇒  Q не является литерой.

Определение 10.3. Конечная дизъюнкция литер или их отрицаний называется дизъюнктом . Пустой дизъюнкт обозначается Л и означает ложь , или тождественно-равную нулю формулу.

Пример 10 .4 . Дизъюнкции:

являются дизъюнктами, а формула  — нет.

Определение 10.4. Два дизъюнкта называются резольвентной парой , если существует такая литера, которая участвует в одном дизъюнкте как положительная, а в другом — как отрицательная.

Пример 10 .5 . Пара дизъюнктов  — резольвентная, так как литера b участвует в первом дизъюнкте как положительная, а во втором — как отрицательная. Пара     не является дизъюнктной парой.

Теорема 10.7. Пусть d ₁ , d ₂ — резольвентная пара дизъюнктов вида   где через A , В обозначены члены дизъюнктов с невыделенными литерами. Тогда формула

является тавтологией, т. е. тождественно-истинной, или логическим законом.

Доказательство. Если посылка в импликации — ложь, то формула — истина. Если посылка — истина, то каждая скобка  — истина. Возможны два случая: р — истина, р — ложь. В первом случае будет: В — истина и, следовательно, заключение импликации ( A ∨ В ) — истина. Во втором случае будет А — истина и, следовательно, снова заключение ( A ∨ В ) — истина. Так как посылка и заключение импликации — истина, то вся формула импликации — истина.

Из этой теоремы следует правило получения из резольвентной пары нового дизъюнкта, который называется резольвентой . Это правило называется правилом резолюции и его записывают в виде

Это правило по виду напоминает правило m р в формальной теории

которое, кстати, соответствует следующей тавтологии (логическому закону)

или в виде

Последняя формула соответствует правилу резолюции

Пример 10 .6 . Резольвентой для пары   будет дизъюнкт a ∨ b ∨ с . Применим правило резолюции к паре  получим резольвенту р ∨ r .

Идея метода резолюций.

1.   Пусть требуется доказать в алгебре высказываний, что формула F — тавтология.

2.   Рассмотрим отрицание этой формулы   Тогда задача переформулируется и станет следующей. Доказать, что формула G — тождественно-ложная.

3.   Преобразуем формулу G в конъюнктивную нормальную форму (КНФ)

где d_i — дизъюнкты.

4.   Среди дизъюнктов d_i найдем резольвентную пару и применим к ней правило резолюции. Полученный новый дизъюнкт, резольвенту, обозначим d_{n +1} и добавим в формулу КНФ для G :

Тем самым получим новую КНФ для G .

5.   Если резольвента d_{n +1} = Λ является пустым дизъюнктом, то формула G будет тождественной ложью, задача решена и производим останов. Если нет, то снова найдем, как в п. 4, среди всех дизъюнктов d ₁ , ..., d_n ,  d_{n +1} резольвентную пару. Применим к ней правило резолюции и добавим полученную резольвенту к имеющимся дизъюнктам. Будем повторять п. 4 и 5, пока не получим пустой дизъюнкт.

Теорема 10.8 (о резольвентной паре ). Пусть формула G — тождественно-ложная и представлена в КНФ G = d ₁   ∧ ... ∧ d_n . Тогда среди дизъюнктов d_i существует резольвентная пара.

Теорема 10.9 (о добавлении резольвенты ). Пусть формула G = d ₁   ∧ ... ∧ d_n представлена в КНФ и среди дизъюнктов dj существует резольвентная пара. Тогда добавление в формулу КНФ резольвенты d_{n +1} этой пары является равносильным преобразованием формулы G , т. е.

Теорема 10.10 (о пустой резольвенте ). Если формула G — тождественно-ложная и представлена в КНФ, то среди всех резольвент исходных дизъюнктов и вновь получаемых дизъюнктов по правилу резолюции существует пустой дизъюнкт.