Тема 3. Элементы теории доказательств Аксиоматическая (формальная) теория. Исчисление предикатов

Аксиоматическая теория впервые была изложена Евклидом в его «Началах», а затем развита Аристотелем в работе «Логика». Идея теории состоит в следующем. Исходя из начальных общезначимых формул, которые называются аксиомами , с помощью разрешенных правил (правил вывода) получаются новые общезначимые формулы. Проблема тем самым переносится на отыскание доказательства, т. е. такой последовательности применений правил вывода, которая позволяет исходя из аксиом вывести заданную формулу, чем и будет доказана общезначимость этой формулы.

Итак, в аксиоматической теории указывается некоторая совокупность формул, которые называются аксиомами, а также правила вывода из одних формул других.

Рассмотрим простейший вариант аксиоматической теории (исчисления предикатов).

Символами этой теории являются те же символы, что и в логике предикатов. Напомним их.

Алфавит аксиоматической теории.

1 . Символы предметных переменных:

x ₁ , x ₂ ,…

2.   Символы предикатов (символы четких множеств изменения предметных переменных):

Здесь индекс т означает арность (число мест) предикатного символа, например А ⁽²⁾ означает бинарный, или двухместный, предикатный символ.

3.   Логические символы в аксиоматической теории используются не все, а только два, через которые можно выразить все остальные:

⌉,⇒.

4.   Два символа кванторов:

∀, ∃.

5.   Две скобки и запятая:

), (.

Формулы аксиоматической теории. Формулы в аксиоматической теории определяются так же, как в логике предикатов. При этом используются только два логических символа — импликация и отрицание.

Аксиомы аксиоматической теории. Для любых формул ɸ ₁ и ɸ ₂ следующие формулы являются аксиомами:

Правила вывода аксиоматической теории.

1. Правило mp ( modus ponens ):

Читается: если имеются две формулы ɸ ₁ и ɸ ₁ ⇒ ɸ ₂ , то по правилу mp получается формула ɸ ₂ . При этом формула ɸ ₂ называется следствием из формул ɸ ₁ и ɸ ₁ ⇒ ɸ ₂ .

2. Правило связывания квантором общности:

где формула ɸ ₂ не содержит переменной х _i . Чтение правила аналогично предыдущему. Если имеется формула, стоящая над чертой, то получается формула, стоящая под чертой. Вторая формула называется следствием первой по правилу 2.

3. Правило связывания квантором существования:

где формула ф₂ не содержит переменной х _i . Чтение правила аналогично предыдущему.

4. Правило переименования связанной переменной: связанную переменную формулы ɸ ₁ можно заменить (в кванторе и во всех вхождениях в области действия квантора) другой переменной, не являющейся свободной в формуле ɸ ₁ . Чтение этого правила также аналогично предыдущему.

В аксиоматической теории новые формулы получают по правилам вывода из имеющихся формул. Причем если имеющиеся формулы истинны в некоторой интерпретации, то новые формулы будут истинными в той же интерпретации. Что нового появляется в аксиоматической теории по сравнению с логикой предикатов? Синтаксис и семантика, которые имеют место в логике предикатов, полностью переносятся и в аксиоматическую теорию. Но в аксиоматической теории появляется новое семантическое качество — возможность описывать (моделировать) суждения (умозаключения). Этого нет в логике предикатов. В логике предикатов можно в некоторых случаях провести только оценку данной формулы (текста). В аксиоматической теории есть возможность организовать логический процесс: вывод из имеющихся истинных формул (текстов) новых истинных формул с целью получения заданной формулы и одновременно ее оценку. Тем самым логический вывод — оригинальный способ решения задачи оценивания выведенной (заданной) формулы.

Перейдем к строгим определениям главных понятий аксиоматической теории — вывода из гипотез и понятия теоремы.

Определение 10.1. Пусть дано конечное множество формул χ ₁ , χ ₂ ,… χ _m , которые назовем гипотезами . Выводом (доказательством ) из этих гипотез назовем последовательность формул

φ ₁ , φ ₂ ,…,φ_n , φ ,

где каждая формула последовательности есть или гипотеза, или аксиома, или следствие из формул, стоящих перед данной формулой в последовательности, по одному из правил вывода аксиоматической теории. При этом каждая формула, кроме последней, называется промежуточным результатом , данного вывода. Последняя формула вывода называется окончательным , результатом , вывода. Говорят: формула ɸ выведена из гипотез . Кроме того, получение (появление) каждой формулы вывода называется шагом , вывода .

Кратко вывод (доказательство) из гипотез принято обозначать

χ ₁ , χ ₂ ,… χ _m ⊢ φ

Знак ⊢ называется секвенцией .

Если формула φ выводится только из аксиом, не используя никаких гипотез, то она называется теоремой . Говорят: формула φ выведена, или теорема ср доказана в аксиоматической теории. В этом случае пишут: ⊢ φ .

Пример 10 .1 . Доказать теорему ɸ ⇒ ɸ , т. е. ⊢ ( ɸ ⇒ ɸ ).

На первом шаге вывода рассмотрим первую группу аксиом для случая ɸ ₁ = ɸ , ɸ ₂ = ( ɸ ⇒ ɸ ). Будем иметь:

φ ₁ = (ɸ ⇒ ( ( ɸ ⇒ ɸ ) ⇒ ɸ)).

На втором шаге вывода рассмотрим вторую группу аксиом для случая ɸ ₁ = ɸ , ɸ ₂ = ( ɸ ⇒ ɸ ), ɸ ₃ = ɸ . Будем иметь:

φ ₂ = (ɸ ⇒ ( ( ɸ ⇒ ɸ ) ⇒ ɸ)) ⇒ ( (ɸ ⇒ (ɸ ⇒ ɸ )) ⇒ ( ɸ ⇒ ɸ )).

На третьем шаге вывода используем первое правило вывода ( mp ) к полученным двум промежуточным результатам вывода. Тогда получим новую формулу:

φ ₃ = (ɸ ⇒ (ɸ ⇒ ɸ)) ⇒ (ɸ ⇒ ɸ )).

Посмотрев на этот третий результат вывода, видим, что можно снова воспользоваться правилом m р, если предварительно получить соответствующую подформулу, которая стоит в посылке импликации. Поэтому снова рассмотрим первую группу аксиом, но для случая ɸ ₁ = ɸ , ɸ ₂ = ɸ Тогда на четвертом шаге доказательства будем иметь:

φ ₄ = (ɸ ⇒ (ɸ ⇒ ɸ)).

Теперь завершаем доказательство. Применим первое правило вывода к формулам φ ₄ и φ ₃ . Получим окончательный результат:

φ ₅ = ( ɸ ⇒ ɸ ).

Теорема 10.1. Аксиомы аксиоматической теории — общезначимые формулы.

Теорема 10.2. Формула, получающаяся из общезначимых формул по любому из правил вывода, является общезначимой.

Еще важны следующие теоремы, которые также приведем без доказательств.

Теорема 10.3 (о дедукции ). Если ɸ ₁ ⊢ ɸ ₂ , то ⊢ ( ɸ ₁ ⇒ ɸ ₂ ) В общем случае, если справедливо χ ₁ ,  χ ₂ ,… χ _m ⊢ ɸ , имеет место χ ₂ ,… χ _m ⊢ ( χ ₁ ⇒ ɸ ), т. е. любую гипотезу можно перенести в выводимую формулу в форме посылки соответствующей импликации.

Пример 10 .2 . Рассмотрим снова задачу: доказать теорему ɸ ⇒ ɸ . Воспользуемся теоремой (метатеоремой) о дедукции. Тогда достаточно доказать, что ɸ ⊢ ɸ , и применить теорему о дедукции. Вывод формулы ɸ из гипотезы ɸ состоит из одного шага ɸ , который является одновременно первым и последним шагом. Тем самым задача решена.

Теорема 10.4. Любая теорема в аксиоматической теории (исчислении предикатов) общезначима.

Теорема 10.5. (о непротиворечивости ). Аксиоматическая теория непротиворечива, т.   е. в такой теории нельзя одновременно иметь два доказательства некоторой теоремы и ее отрицания.

Следующая теорема о полноте аксиоматической теории (исчисления предикатов) принадлежит Гёделю.

Теорема 10.6. (теорема Гёделя о полноте ). Всякая общезначимая формула является теоремой в аксиоматической теории.

Вывод . Класс всех теорем аксиоматической теории (исчисления предикатов) совпадает с классом всех общезначимых формул логики предикатов. Но проблема неразрешимости в исчислении предикатов остается в форме отсутствия общего алгоритма поиска вывода (доказательства). Далее рассмотрим современную идею, как можно обойти, в некотором смысле, проблему неразрешимости формальной теории.